机械振动基础.ppt

1 Chapter18 MechanicalVibrations 2 第十八章机械振动基础 3 Vibrationsarecommonphenomenaineverydaylifeandinengineeringpractice Suchastheswingingofaclockpendulum thebumpingofatravelingcar thevibrationsofworkingmachinepartsormotors andthequakeofbuildingscausedbyanearthquake 3 Theaimofthestudyofvibrationsistheeliminationorreductionofharmfuloscillations orthehelpfuluseofthemforspecialpurposes Advantagesanddisadvantagesofvibrations Vibratingfeeder vibratingscreen vibratingpiledriverextractor forexample areadvantageousapplications Butvibrationsinducefrictionloss affectintensity makenoise havebadeffectsonworkingconditions consumeunnecessaryenergyandreducetheprecisionofamachineetc Vibrationsarethebackandforthmovementsofasystemarounditsequilibriumposition Dynamics 4 动力学 振动是日常生活和工程实际中常见的现象 例如 钟摆的往复摆动 汽车行驶时的颠簸 电动机 机床等工作时的振动 以及地震时引起的建筑物的振动等 利 振动给料机弊 磨损 减少寿命 影响强度振动筛引起噪声 影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量 降低精度等 3 研究振动的目的 消除或减小有害的振动 充分利用振动为人类服务 2 振动的利弊 1 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动 5 Thepresentchapterdiscussesmainlyfreevibrationsandforcedvibrationsofsystemswithonedegreeoffreedom Accordingtothecauseofthevibrationstheycanbeclassifiedinto freevibrations includingundampedfreevibrationsanddampedfreevibrations forcedvibrations includingundampedforcedvibrationsanddampedforcedvibrations self excitedforcedvibrations Dynamics 6 动力学 本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动 7 18 1Undampedfreevibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 18 2Methodsofdeterminationofthenaturalfrequencyofasystem 18 3Dampedfreevibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 18 4Undampedforcedvibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 18 5Dampedforcedvibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 18 6Theconceptsofcriticalspeedofrotation vibrationreductionandvibrationisolation Chapter18 Mechanicalvibrations 8 18 1单自由度系统无阻尼自由振动 18 2求系统固有频率的方法 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 18 4单自由度系统的无阻尼强迫振动 18 5单自由度系统的有阻尼强迫振动 18 6临界转速 减振与隔振的概念 第十八章机械振动基础 9 18 1Undampedfreevibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 1 Conceptoffreevibration Dynamics 10 动力学 18 1单自由度系统无阻尼自由振动 一 自由振动的概念 11 Equilibriumpositionx 0 Equilibriumpositionj 0 Dynamics Equilibriumpositionj 0 12 动力学 13 Aforceactingonavibratingbodywhichisalwaysdirectedtowardsitsequilibriumpositioniscalledarestoringforce Aftertheactionofaninitialdisturbance thevibrationofasystemarounditsequilibriumpositionundertheactionofonlyarestoringforceiscalledanundampedfreevibration Foramass springsystem Forasimplependulum Foracompoundpendulum Dynamics 14 动力学 运动过程中 总指向物体平衡位置的力称为恢复力 物体受到初干扰后 仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动 质量 弹簧系统 单摆 复摆 15 2 Differentialequationanditssolutionforanundampedfreevibrationofasystemwithonedegreeoffreedom thestandardformofthedifferentialequationoffreevibrationis Itssolutionis Dynamics 16 二 单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 动力学 对于任何一个单自由度系统 以q为广义坐标 从平衡位置开始量取 则自由振动的运动微分方程必将是 a c是与系统的物理参数有关的常数 令 则自由振动的微分方程的标准形式 解为 17 Assumingthatatt 0 weget or Dynamics 18 动力学 设t 0时 则可求得 或 C1 C2由初始条件决定为 19 3 Propertiesofafreevibrationwithoutdamping A Thequantity whichisthemaximumdistanceofavibratingbodyfromtheequilibriumposition iscalledtheamplitude nt Thequantity whichdefinesthepositionofthevibratingbodyatanygiventime iscalledthephaseofthevibration Thequantity whichdefinestheinitialphase atwhichthemotionstarts T ThetimeTduringwhichthevibratingbodymakesonecompletevibrationiscalledtheperiodofvibration f Thequantity whichspecifiesthenumberofoscillationspersecondandistheinverseoftheperiod iscalledthefrequencyofthevibration f 1 T Thequantity whichspecifiesthenumberofoscillationsin2seconds iscallednaturalfrequencyofthevibration Itcharacterizesthedynamicsofagivenvibratingsystemanddependsontheinherentparametersdescribingthesystem Dynamics 20 动力学 三 自由振动的特点 A 物块离开平衡位置的最大位移 称为振幅 nt 相位 决定振体在某瞬时t的位置 初相位 决定振体运动的起始位置 T 周期 每振动一次所经历的时间 f 频率 每秒钟振动的次数 f 1 T 固有频率 振体在2 秒内振动的次数 反映振动系统的动力学特性 只与系统本身的固有参数有关 21 Propertiesofundampedfreevibrations 4 Otherresults1 Ifaconstantforceisappliedtothesysteminthedirectionofitsvibrationthenthisconstantforcedoesnotaffectthelawofthevibrationofthesystem ItonlydisplacestheequilibriumpositionOintothedirectionofthisforce Theamplitude frequencyandphaseofthevibrationdonotchange 2 TheamplitudeAandtheinitialphasedependontheinitialconditions initialdisplacementandinitialvelocity 1 Itisasimpleharmonicvibration 3 TheperiodTandthenaturalfrequencydependonlyonthenaturalparametersofthesystemitself m k I etc Dynamics 22 动力学 无阻尼自由振动的特点是 2 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件 初位移和初速度 1 振动规律为简谐振动 3 周期T和固有频率仅决定于系统本身的固有参数 m k I 四 其它1 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用 该常力只影响静平衡点O的位置 而不影响系统的振动规律 如振动频率 振幅和相位等 23 2 Equivalentstiffnessofseriesandparallelspringsystems Foraparallelspringsystem Foraseriesspringsystem parallel series Dynamics 24 动力学 2 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度 并联 串联 25 18 2Methodsofdeterminationofthenaturalfrequencyofasystem 1 Thedifferentialequationofthevibrationofasysteminthestandardformis 3 EnergyMethod FromtheequationTmax Umaxwecandetermine Dynamics 26 动力学 18 2求系统固有频率的方法 集中质量在全部重力作用下的静变形 由Tmax Umax 求出 27 Asystemwithundampedfreevibrationisaconservativesystem Themechanicalenergyofsystemdoesnotchangeduringitsmotion Whenthevibratingbodymovestothemaximumdistancefromtheequilibriumposition itsvelocitybecomeszero Hence thekineticenergyofthesystemiszerowhenitspotentialenergyhasitsmaximumvalue choosethestaticequilibriumpositionofthesystemasthezeropointofpotentialenergy Whenthevibratingbodymovestotheequilibriumposition thepotentialenergyofthesystemiszero whileitskineticenergyismaximum Example Dynamics 28 动力学 无阻尼自由振动系统为保守系统 机械能守恒 当振体运动到距静平衡位置最远时 速度为零 即系统动能等于零 势能达到最大值 取系统的静平衡位置为零势能点 当振体运动到静平衡位置时 系统的势能为零 动能达到最大值 如 29 Theenergymethodisbasedontheconservationlawofthemechanicalenergy Itisasimpleandconvenientmethodinordertocomputethenaturalfrequencyofamorecomplicatedvibrationalsystem Example1 Thesystemisshowninthefigure Assumethatthesystemdoesnotswinghorizontally Thewheel whichishomogeneousofradiusRandmassM andthestringdonotslideonerelativetotheother TheloadhasmassM Neglectingthemassofthestringandofthespring writedownthedifferentialequationofvibrationofthesystemanddetermineitsnaturalfrequency Dynamics weget 30 动力学 能量法是从机械能守恒定律出发 对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法 例1图示系统 设轮子无侧向摆动 且轮子与绳子间无滑动 不计绳子和弹簧的质量 轮子是均质的 半径为R 质量为M 重物质量m 试列出系统微幅振动微分方程 求出其固有频率 31 Solution1 Letxbethegeneralizedcoordinate Theoriginofthecoordinateisatthepositionofstaticequilibriumofthesystem Instaticequilibriumwehave Atanarbitrarypositionxweget Dynamics 32 动力学 解 以x为广义坐标 静平衡位置为坐标原点 则任意位置x时 静平衡时 33 Applyingthetheoremofkineticenergywehave From weget Thedifferentialequationofvibrationis Therefore thenaturalfrequencyis Dynamics 34 动力学 应用动量矩定理 由 有 振动微分方程 固有频率 35 Solution2 Letxbethegeneralizedcoordinate theoriginisatthepositionofstaticequilibriumofthesystem Applyingtheconservationlawofmechanicalenergywehave Choosethepositionofequilibriumasthezeropointofpotentialenergy Whenthedisplacementofthecenterofthewheelisx theelongationofthespringis2x Inequilibrium wehave Dynamics 36 动力学 解2 用机械能守恒定律以x为广义坐标 取静平衡位置为原点 以平衡位置为计算势能的零位置 并注意轮心位移x时 弹簧伸长2x 因平衡时 37 FromT U weget Differentiationwithrespecttotimetandeliminationofthecommonmultiplierresultsin Dynamics 38 动力学 由T U 有 对时间t求导 再消去公因子 得 39 Solution choosethedistancexofCfromtheequilibriumpositionasthegeneralizedcoordinate Themaximumkineticenergyofthesystemis Example2Atabwheel whosemassisMandwhosegyroradiuswithrespecttothecenterofthewheelis rotateswithoutslidingonahorizontalplane TheradiiofthebigandthesmallwheelsareRandr thestiffnessofthetwospringsareand theloadism Neglectingthemassesofthewheelandthesprings andassumingthestringisnotextensible determinethenaturalfrequencyofthesysteminsmalloscillation Dynamics 40 动力学 例2鼓轮 质量M 对轮心回转半径 在水平面上只滚不滑 大轮半径R 小轮半径r 弹簧刚度 重物质量为m 不计轮D和弹簧质量 且绳索不可伸长 求系统微振动的固有频率 解 取静平衡位置O为坐标原点 取C偏离平衡位置x为广义坐标 系统的最大动能为 41 Themaximumpotentialenergyofthesystemis Dynamics 42 动力学 系统的最大势能为 43 Writingwehave FromTmax Umaxwethenget Dynamics 44 动力学 设则有 根据Tmax Umax 解得 45 18 3Dampedfreevibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 1 ConceptofResistance Resistance Resistanceistheforceactingonanoscillationsystemrestoringitsequilibrium ViscousDamping Inmanycases theresistancecausedbythesurroundingmediumisproportionaltothefirstpowerofthevelocity Sucharesistanceiscalledviscousdamping Itsprojectionformis whereCiscalledtheviscousresistancecoefficient orcoefficientofdamping Dynamics 46 动力学 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 一 阻尼的概念 阻尼 振动过程中 系统所受的阻力 粘性阻尼 在很多情况下 振体速度不大时 由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比 这种阻尼称为粘性阻尼 投影式 c 粘性阻尼系数 简称阻尼系数 47 2 Differentialequationofadampedfreevibrationanditssolution Foraspringsystemwithviscousdampingweget 2 and 2 n m c n m k w wewrite Usingtheabbreviations Thisisthedifferentialequationofthedampedfreevibrationinstandardform Dynamics 48 动力学 二 有阻尼自由振动微分方程及其解 质量 弹簧系统存在粘性阻尼 有阻尼自由振动微分方程的标准形式 49 Thegeneralsolutionisdiscussedforthreecases 1 Inthecaseofsmallresistance or thegeneralsolutionis Whereisthecircularfrequencyofthedampedfreevibration Assumingatand weget Dynamics 50 动力学 其通解分三种情况讨论 1 小阻尼情形 有阻尼自由振动的圆频率 51 Propertiesofadampedvibration Theperiodofthevibrationincreases thefrequencydecreases ratioofresistance Hence Ifthenandwegetapproximately Dynamics 52 动力学 衰减振动的特点 1 振动周期变大 频率减小 阻尼比 有阻尼自由振动 当时 可以认为 53 2 Theamplitudeofthevibrationdecreasesingeometricprogression Thelogarithmicdecrementisdefinedas Theratiooftwoadjacentamplitudeis 2 Inthecaseofcriticaldamping criticalviscousresistancecoefficient Dynamics thegeneralsolutionis 54 动力学 2 振幅按几何级数衰减 对数减缩率 相邻两次振幅之比 55 Wecanseethatthebodytendstomovetothepositionofequilibriumwithincreasingtimeexponentiallyslowly Substitutingtheinitialconditions at weget and 0 0 x x x x 3 Inthecaseofoverdampingthegeneralsolutionis Themotionisnotaperiodicone Withincreasingtimethequantityxgoesexponentiallytozero thebodydoesnotvibrate Dynamics 56 动力学 可见 物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置 不再具备振动的特性 代入初始条件 3 过阻尼 大阻尼 情形 57 Example3InaspringsystemW 150N st 1cm A1 0 8cm A21 0 16cm Determinetheviscousresistancecoefficientc Solution Becauseisverysmallwecanwriteapproximatelyandget Dynamics 58 动力学 例3质量弹簧系统 W 150N st 1cm A1 0 8cm A21 0 16cm 求阻尼系数c 解 由于很小 59 18 4Undampedforcedvibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 1 Conceptofforcedvibration Aforcedvibrationistheoscillationofabodyundertheactionofanexternaldisturbingforce excepttherestoringforce Asimpleharmonicdisturbingforceisgivenby whereHistheamplitudeoftheforce isitscircularfrequencyand isitsinitialphase Thisisthedifferentialequationofanundampedforcedvibrationinstandardform Itisalinearinhomogeneousdifferentialequationofsecondorder itssolutionis Dynamics 60 动力学 18 4单自由度系统的无阻尼强迫振动 一 强迫振动的概念强迫振动 在外加激振力作用下的振动 简谐激振力 H 力幅 激振力的圆频率 激振力的初相位 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性微分方程 二 无阻尼强迫振动微分方程及其解 61 Thetotalsolutionis x2isastablestateforcevibration 3 Mainpropertiesofstablestateforcevibration 1 Itistheadditionalvibrationofasysteminonedimension causedbyasimpleharmonicdisturbingfore 2 Thefrequencyofthispartisequaltothefrequencyofthesimpleharmonicdisturbingforce itdoesnotdependonthemassandthestiffnessofthesystem 3 Theamplitudeofitdependsonthenaturalfrequencyofthesystemandofthefrequencyandtheamplitudeofthedisturbingforce butnottheinitialconditions thegeneralsolutionofthecorrespondinghomogeneousdifferentialequationand aparticularsolutionofthecompleteequation Dynamics 62 动力学 为对应齐次方程的通解为特解 3 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关 而与振动系统的固有频率 激振力的频率及激振力的力幅有关 三 稳态强迫振动的主要特性 1 在简谐激振力下 单自由度系统强迫振动亦为简谐振动 2 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率 与振动系统的质量及刚度系数无关 63 istheamplituderatio orthedynamiccoefficient isthefrequencyratio Thisisthe curve thedependenceoftheamplitudeonthefrequency 1 1 At 0 3 At thephaseoftheforcedvibrationsisinversetothephaseofthedisturbingforce i e thephaseshiftis 2 At theamplitudebofthisvibrationincreasewithw andgoestoinfinitywithw wn wherebdecreaseswithincreasing Ifwgoesto bgoestob0 Ifwgoesto bgoestozero Dynamics 64 动力学 1 0时 2 时 振幅b随 增大而增大 当时 3 时 振动相位与激振力相位反相 相差 b随 增大而减小 65 Atresonanceweget 4 Resonance then bistheinfinite thisphenomenoniscalledresonance If Dynamics 66 动力学 4 共振现象 这种现象称为共振 此时 67 18 5Dampedforcedvibrationofasystemwithonedegreeoffreedom 1 Differentialequationofadampedforcedvibrationanditssolution Thisequationisthedifferentialequationofadampedforcedvibrationinstandardform Itisalinearinhomogeneousdifferentialequationofsecondorder Itssolutionis Dividingbothsidesofthelastequationbymandintroducingthenotations weobtain Dynamics 68 动力学 18 5单自由度系统的有阻尼强迫振动 一 有阻尼强迫振动微分方程及其解 将上式两端除以m 并令 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式 二阶常系数非齐次微分方程 69 theamplitudeoftheforcedvibration eisthephaseshiftoftheforcedvibration thedifferencetothephaseofthedisturbingforce inthecaseofsmallresistance andx2isaparticularsolutionofthecompleteequation wherex1isthegeneralsolutionofthecorrespondinglinearhomogeneousequation Substitutingthisexpressionintothedifferentialequationinstandardformweobtain Dynamics 70 动力学 x1是齐次方程的通解 小阻尼 A 积分常数 取决于初始条件 振动微分方程的全解为 71 Atthebeginningofthevibration theprocesswithboththenaturalandtheforcedvibrationsimultaneously iscalledthetransientprocess Theotherprocessofforcedvibrationafterthetransientprocess iscalledthestablestateprocess Itisthesubjecttobediscussedindetail 2 Effectofresistanceonforcedvibration frequencyratio theamplituderatioandtheresistanceratio n n n b b w z b w w l andarethe 0 Weget 1 Thevibrationgivenbyisasimpleharmonicmotion 2 Frequency Thefrequencyoftheforcedvibrationisequaltothefrequencyofthedisturbingforce 3 Amplitude Dynamics 72 动力学 振动开始时 二者同时存在的过程 瞬态过程 仅剩下强迫振动部分的过程 稳态过程 需着重讨论部分 因此 二 阻尼对强迫振动的影响 1 振动规律简谐振动 2 频率 有阻尼强迫振动的频率 等于激振力的频率 3 振幅 73 3 Iftendsto1andtheresistancehasaremarkableeffectontheamplitude Whenwdoesnotchange theamplitudedecreasesstronglywithincreasingresistance weobtain Atthisfrequency theresonancefrequency Dynamics 74 动力学 1 共振频率 此时 75 4 Phasedifference Dampedforcedvibrationsalwayshaveaphasebehindthatofthedisturbingforce Thisphasedifferenceisgivenbytheangleewith 1 Thevalueof isalwaysbetween0and 2 Thephase frequencycurve the curve isamonotonicincreasingcurve increaseswith 3 Atresonance 1and Thecurveincreasesnearresonancerapidly allcurvesofdifferentresistancepassthispoint 4 For 1 increaseswith If 1 inversephase Dynamics 76 动力学 4 相位差有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角 称为相位差 1 总在0至 区间内变化 2 相频曲线 曲线 是一条单调上升的曲线 随 增大而增大 3 共振时 1 曲线上升最快 阻尼值不同的曲线 均交于这一点 4 1时 随 增大而增大 当 1时 反相 77 Example1KnowingP 3500N k 20000N m H 100N f 2 5Hzandc 1600N s m determineb andtheequationoftheforcedvibration Solution Dynamics 78 动力学 例1已知P 3500N k 20000N m H 100N f 2 5Hz c 1600N s m 求b 强迫振动方程 解 79 Dynamics 80 动力学 81 18 6Theconceptsofcriticalspeedofrotation vibrationreductionandvibrationisolation 1 CriticalspeedofrotationofarotatorThespecialspeedofrotationatwhichtherotatorwillvibratedrasticallyiscalledcriticalspeedofrotation Thisphenomenoniscausedbyresonance Incourseofdesigningofahigherspeedshaft suchcheckingcomputationsshouldbetakenintoaccount Rotatorofsinglecircledisc PointCisthecenterofmassofacirculardiscwhosemassism ThegeometriccenterAofthediscisontheaxisofrotation AC e thediscisrotatingarounditsaxiswithaconstantangularvelocity When n nisthenaturalfrequencyofthesystemconsistingofthediscandtheaxisofrotation OC x e xistheflexuraldeformationofthemid pointoftheaxis Dynamics 82 动力学 18 6临界转速 减振与隔振的概念 一 转子的临界转速引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速 这种现象是由共振引起的 在轴的设计中对高速轴应进行该项验算 单圆盘转子 圆盘 质量m 质心C点 转轴过盘的几何中心A点 AC e 盘和轴共同以匀角速度 转动 当 n n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率 时 83 CriticalangularvelocityisCriticalspeedofrotationis From wherekistheequivalentstiffne