高中数学 3.2.2用向量方法解决垂直问题课后习题 新人教A版选修21.doc

第二课时用向量方法解决垂直问题课时演练促提升a组1.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为,且l,则m的值为()a.1b.2c.4d.-4解析:l,l的方向向量与平面的法向量共线.(2,1,m)=,解得m=4.答案:c2.已知平面内有一个点m(1,-1,2),它的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点p中,在平面内的是()a.p(2,3,3)b.p(-2,0,1)c.p(-4,4,0)d.p(3,-3,4)解析:因为n=(6,-3,6)是平面的一个法向量,所以它应该和平面内的任意一个向量垂直,只有在选项a中,=(2,3,3)-(1, -1,2)=(1,4,1),n=(1,4,1)(6,-3,6)=0,所以点p在平面内.答案:a3.在菱形abcd中,若是平面abcd的法向量,则以下等式中可能不成立的是()a.=0b.=0c.=0d.=0解析:pa平面abcd,bdpa.又acbd,pcbd.故选项b正确,选项a和d显然成立.故选c.答案:c4.如图,设a为正方体abcd-a1b1c1d1的三个顶点确定的平面a1bd的一个法向量,则()a.ab.ac.a与相交但不垂直d.a与不共面解析:由于ac1平面a1bd,即也是平面a1bd的一个法向量,因此必有a.答案:a5.平面与平面的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:mn;mn;aml;aml.其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).解析:中与还有可能重合;正确;中l有可能在内.答案:6.若正三棱锥p-abc侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为.解析:设高为h,底边长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则点p(0,0,h),a,b,c,得平面pab,pac的法向量分别为,则3-9+=0,解得h=.故高与底面边长之比为6.答案:67.如图,已知在直三棱柱abc-a1b1c1中,acbc,d为ab的中点,ac=bc=bb1.求证:(1)bc1ab1;(2)bc1平面ca1d.证明:如图,以c1点为原点,分别以c1a1,c1b1,c1c所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设ac=bc=bb1=2,则a(2,0,2),b(0,2,2),c(0,0,2),a1(2,0,0),b1(0,2,0),c1(0,0,0),d(1,1,2).(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),因此=0-4+4=0,因此,故bc1ab1.(2)取a1c的中点e,连接de,由于e(1,0,1),所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),所以=-.又ed和bc1不共线,所以edbc1.又de平面ca1d,bc1平面ca1d,故bc1平面ca1d.8.如图,正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直,ceac,efac,ab=,ce=ef=1.求证:(1)af平面bde;(2)cf平面bde.证明:(1)设ac与bd交于点g.efag,且ef=1,ag=ac=1,四边形agef为平行四边形,afeg.eg平面bde,af平面bde,af平面bde.(2)连接fg.正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直,且ceac,ce平面abcd.如图,以c为原点,cd,cb,ce所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),a(,0),b(0,0),d(,0,0),e(0,0,1),f,=(0,-,1),=(-,0,1),=0-1+1=0,=-1+0+1=0.,cfbe,cfde.又bede=e,cf平面bde.9.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e是棱bc的中点,试在棱cc1上求一点p,使得平面a1b1p平面c1de.解:如图,以d为原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,p(0,1,a),则a1(1,0,1),b1(1,1,1),e,c1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).设平面a1b1p的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,得x1=a-1,n1=(a-1,0,1).设平面c1de的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则令y2=1,得x2=-2,z2=-1,n2=(-2,1,-1).平面a1b1p平面c1de,n1n2,即n1n2=0.-2(a-1)+0+(-1)=0,a=.故p.b组1.如图,pa平面abcd,四边形abcd为正方形,e是cd的中点,f是ad上一点,当bfpe时,affd的值为()a.12b.11c.31d.21解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,pa=a,则b(1,0,0),e,p(0,0,a).设点f的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),.bfpe,=(-1)+y=0.解得y=,即点f的坐标为.f为ad的中点.affd=11.答案:b2.如图,四边形abcd为正方形,pd平面abcd,pdqa,qa=ab=pd,则平面pqc与平面dcq的位置关系为()a.平行b.垂直c.相交但不垂直d.位置关系不确定解析:由已知可得pddc,pdda,dcda,如图,以d为原点,建立空间直角坐标系,设qa=1,则d(0,0,0),c(0,0,1),q(1,1,0),p(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).故=0,=0,即,故pq平面dcq,平面pqc平面dcq.答案:b3.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,底面是以abc为直角的等腰三角形,ac=2a,bb1=3a,d是a1c1的中点,点e在棱aa1上,要使ce平面b1de,则ae=.解析:建立如图所示的坐标系,则b1(0,0,3a),d,c(0,a,0).设点e的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a),故=0.故要使ce平面b1de,则需,即=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.答案:a或2a4.如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形,o为底面中心,a1o平面abcd,ab=aa1=.求证:a1c平面bb1d1d.证明:由题设易知oa,ob,oa1两两垂直,以o为原点建立空间直角坐标系,如图.ab=aa1=,oa=ob=oa1=1.a(1,0,0),b(0,1,0),c(-1,0,0),d(0,-1,0),a1(0,0,1).由,易得b1(-1,1,1).=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),=0,=0.a1cbd,a1cbb1.a1c平面bb1d1d.5.如图,在四棱锥p-abcd中,pc平面abcd,pc=2,在四边形abcd中,b=c=90,ab=4,cd=1,点m在pb上,pb=4pm,pb与平面abcd成30的角.求证:(1)cm平面pad;(2)平面pab平面pad.证明:以c为坐标原点,cb为x轴,cd为y轴,cp为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.pc平面abcd,pbc为pb与平面abcd所成的角,pbc=30.pc=2,bc=2,pb=4.d(0,1,0),b(2,0,0),a(2,4,0),p(0,0,2),m,=(0,-1,2),=(2,3,0),.(1)设n=(x,y,z)为平面pad的一个法向量,由令y=2,得n=(-,2,1).n=-+20+1=0,n.又cm平面pad,cm平面pad.(2)如图,取ap的中点e,连接be,则e(,2,1),=(-,2,1).pb=ab,bepa.又=(-,2,1)(2,3,0)=0,.beda.又pada=a,be平面pad.be平面pab,平面pab平面pad.6.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90,ab=ac=a,aa1=b,点e,f分别在棱bb1,cc1上,且be=bb1,c1f=cc1.设=.当平面aef平面a1ef时,求的值.解:建立如图所