4-4坐标系与参数方程(引言).ppt

引言 数学选修4 4这一专题的内容为 坐标系 和 参数方程 坐标系是坐标法思想得以实现的平台 是解析几何的基础 学生学习极坐标系 柱坐标系 球坐标系等不同的坐标系 可以丰富对 坐标系的认识 体会不同坐标系在刻画 几何图形或描述自然现象上的特点 从而学会如何选择适当的坐标系 建立的方程更加简单 研究更加方便 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观测点同时听到一声巨响 正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s 已知各观测点到中心的距离都是1020m 试确定该巨响的位置 假定当时声音传播的速度为340m s 各相关点均在同一平面上 怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题呢 这就是我们这本书第一讲的重点 根据几何对象的特征 选择适当的坐标系 建立它的方程 通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系 这就是研究几何问题的坐标方法 我们可以通过建立如图双曲线来解决这个问题 通过建立合理的坐标系我们发现问题迎刃而解 问题的具体分析在第一讲中 极坐标系是第一讲的重点 我们知道在直角坐标系中 点与有序实数对 x y 是一一对应的关系 而在极坐标系中 也会是这种关系吗 不是的 通过本书的学习 我们会认识到用极坐标与直角坐标来表示点与直线时 它们之间的区别是 1 在平面直角坐标系中 点与有序实数对 x y 是一一对应的关系 在极坐标系中 虽然一个有序实数对只与一个点对应 但一个点却可以和无限多个有序实数对对应 2 在平面直角坐标系中 曲线和它的方程是一一对应的关系 在极坐标系中 虽然一个方程只能和一条曲线对应有序实数但一条曲线却可以和多个方程对应 例如 方程和表示同一个圆 和 n为非负零整数 可取负值 表示同一条曲线 但是它们之间不可互化 所以曲线和它的极坐标方程不是一一对应的关系 3 在平面直角坐标系中 曲线上的任意点的坐标一定适合它的方程 在极坐标系中 曲线上的点的所有坐标不一定都适合方程 4 在直角坐标系中 求两曲线的公共点 只要求出它们的方 程的公共解即可 在极坐标中 一般来说 通过解极坐标方程组也能得到两曲线的公共点 但有时方程组的公共解不能给出两曲线的全部交点例如 求等速螺线与直线的交点的极坐标 解方程组 只能得到一个交点 但实际上它们的交点有无数个 它们可以通过解方程组而得到 另外极点也是它们的交点 因为极点的坐标为 0 其中可取任何实数 当极点的极坐标取 0 0 时 它满足方程 当极点的极坐标取时 满足方程 所以极点也是它们的交点 在第二讲中 我们讨论了曲线的参数方程 在平面上取定直线坐标系 设有曲线C及参数方程其中参数在 a b 上变化 都是在 a b 上的单值连续函数 1 如果曲线C上的点与参数方程 1 的解建立了如下对应的关系 a 对于每个适合条件的 通过参数方程 1 所确定的点在曲线C上 b 对于曲线C上任意一点都至少存在一个有则 1 式叫做曲线C在直角坐标系中的参数方程 一般来说 如果能消去曲线的参数方程的参数 那么就可得到曲线的普通方程 但要注意 消去参数的过程要求不减少也不增加曲线上的点 即要求参数方程和消去后的普通方程是等价的 例如 化曲线的参数方程 其中参数t R 为普通方程 解 由 2 式两边立方 得将 4 代入 3 得 但是普通方程 5 与所给的参数方程并不等价 因为方程 5 所表示的曲线方程上的点增加了 在方程 5 中加上限制条件后 它才与所给的参数方程等价 化曲线的普通方程为参数方程 一般先选定函数关系或然后代入普通方程求出函数关系或 在选定时 必须注意它的值域与普通方程中的允许范围相一致 对求出的 也应该使其值域与普通方程中的允许范围相一致 例如 化椭圆