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文档简介

3 1多元正态的定义 第三章多元正态分布 3 2多元正态的性质 3 3相关性和条件分布 3 4多元正态的参数估计 3 5多元正态的假设检验 3 3正态向量的相关性和条件分布 前面已给出随机向量的相关系数以及相关矩阵R的概念 表示随机向量中分量和的线性相关程度 本节我们将学习随机向量的其他相关性的度量以及正态变量的条件分布 由于我们仅对随机变量的协方差矩阵感兴趣 为讨论方便起见 不妨假设随机向量的期望总为零向量 一 偏相关和复相关 程度 在实际问题中我们常常会遇到其他类型的相关问题 例如随机向量中某个分量与其他分量之间的相关关系 或在 消去若干分量的影响后 其余分量的 两两 相关关系 这 时需要引入新的相关概念 维子向量 这时 3 3 1 如果想找的一个线性组合作为的估计 使得 达到最小 要如何选取 故当且仅当 达到最小值 记为 3 3 3 3 3 2 达到最小 证明 按相关系数的定义得 把上式展开得 对任意常数k 有 3 3 6 3 3 7 的方差 这里 3 3 8 3 3 9 或 3 3 10 在实际应用中可根据需要得到其他形式的复相关系数或偏相关系数的表达式 偏相关系数有如下的递推公式 例如 设则表示与其他分量间的复相关系数 又如表示在给定下 与的偏相关系数 计算中只须取中与 和有关的行 列得到新的协方差矩阵 然后按 3 3 10 计算即可 特别地 有 只要知道相关矩阵 那么各种偏相关系数也就完全确定了 3 3 11 例3 3 1在制订服装标准时 需对有关对象进行抽样 然后进行人体有关尺寸的测量 今从女子身体测量中取出部分结果如下 用表示身高 表示胸围 表示腰围 表示上体长 表示臀围 经计算得到这五个变量的相关矩 由相关系数矩阵可看出说明上体长与身高 胸围与腰围之间存在较大的正相关 说明身高与腰围几乎不相关 下面计算偏相关系数和 阵是 比较和可以看出 即使在排除了身高的影响后腰围和胸围仍然高度相关 再从与的比较中我们发现 把臀围的影响去除后 上体长与腰围从正相关变为负相关 这也说明 腰围和上体长之间的相关实际上是通过女性的一个主要特征臀围而引起的 因此在多个变量时 用相关系数说明相互关系时要十分慎重 由 3 3 11 得 二 正态向量的条件分布 定理3 3 2设维随机向量其中 分别是维和维随机向量 把和相应分块 则在给定后的条件分布为 即在给定后的条件分布为维正态分布 且 证明 作可逆线性替换 其中 于是 由性质2知 由性质6知与相互独立 且 从而在给定后 因此 例3 3 2设 这里 求 和 分布 的
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