数学竞赛辅导----立体几何 数学竞赛辅导----立体几何.ppt

高二数学竞赛辅导第三讲 立体几何解题的基本策略 一 点 线 面间关系的转化 立体几何的知识告诉我们 最核心的内容是线面间的的垂直 平行关系 而它们又通过判定定理 性质定理而相互转化 定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化 例1 如图 二面角 AB 的平面角为300 在 上作AD AB AD 10 过D作CD 于D 若 ACB 600 求AC与BD的距离 解 作BE AC CE AB 连EC ED 则AC 面BCE 直线AC到面BDE的距离就是AC到BD的距离 这时 AC上任一点到面BDE的距离就是所求 由DC 知 DC AC 又AD AB 根据三垂线定理 AC AB 但AB AC 故AC CE 从而AC 面CDE 又BE AC 得BE 面CDE 进而面BDE 面CDE 三个步骤 一 线线距离转化为线面距离 E 二 再转化为点面距离 三 计算距离 解法二用体积法计算VD BCE VC BDE 解法三外接于一个长方体用补形的方法解决 二 平面化的思考 在空间 选取一个恰当的平面 使问题在这个平面上获得突破性的进展 甚至全部解决 是一种自然而重要的思考 怎样选取平面呢 有以下几个主要方法 1 截面法2 隔离法3 展平法4 投影法 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 设 C1D1B所在的半平面为 CD1B所在的半平面为 BD1所在的直线是 与 的交线 求二面角 BD1 的度数 M N 因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的 所以解题的一个方向是找平面角 分析 解 在平面ABC1D1上 由点A向BD1引垂线 与BD1交于M 与BC1交于N 连CM 由于正方体关于面BB1D1D的对称性 必有CM BD1 因此 NMC就是二面角的平面 设正方体的棱长为 则AC2 CD12 2a2 AM2 MC2 a2 在 AMC中 由余弦定理得 AMC 1200 从而 MAC 600 即二面角 BD1 的度数为600 例5 若空间四边形的两组对边相等 则两条对角线的中点连线垂直对角线 三 图形变换 证明如图 空间四边形ABCD中 M N是对角AC BD的中点 现将A与C交换 B与D交换 得到同一位置的空间四边形 而这个四边形又可看作一个绕着某一轴 轴对称 旋转1800得到另一个 由A与C关M于对称 B与D关于N对称知 对称轴必经过MN 从MN AC MN BD 图形变换包括 1 空间的对称2 空间的旋转3 空间的折叠4 空间的展平 直观上补充成为长方体 则MN是上下底面中心的连线 它与上下底面都垂直 当然是同时垂直于AC BD 例4 如图 已知给一个长方体 其共顶点的3条棱互不相等 现在要由一顶点沿表面到对角顶点 求最短的线路 分析 将长方体各面展于同一平面上 可省去底面ABCD 由两点间距离最短知 有三条相对短的走法 设三条共点棱长为AB a AD b AA1 c 且由勾股定理可算得AFC1最短 F F 四 体积法 用两种方法计算同一体积 从而得出未知数的等量关系 这是平面几何的面积法的直接推广 用这种方法求点到平面的距离时 可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程 在种方法多用于四面体和长方体 因为它们对底面的选择有很大的自由度 可以方便地 换底 例5如图 已知ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AB AD的中点 CG垂直于ABCD所在的平面 且CG 2 求B点到平面GEF的距离 H 解 连BF BG 有 2 记H为AC与EF的交点 由CG为平面AC的垂线 AC EF知 CH EF 且由 知 根据等积关系 有 得到B到平面GEF的距离是 五 基本图形法 立体几何中的基本图形是正方体 熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系 对于解题是非常有益的 一旦遇到新问题 我们或者补充为一个正方体 或者分割成几个正方体 能割善补 是学习立体几何的诀窍 例6有三个边长为的正方形 分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下 按图分别接在边长为a的正六边形各边上 然后沿正六边形各边将其余部分折起 如图 求所成立体图形的体积 解法一 分割 将 立体图形分割为一个正六棱锥P ABCDEF与三个三棱锥P GAF P HBC P KDE之和 解法二 补充 将立体图形补充为一