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中学数学中的一些解题思想和方法的研究文献综述 文献综述中学数学中的一些解题思想和方法的研究前言部分 数学,由于其具有广泛的应用价值、卓越的智力价值和深刻的文化价值,因此在基础教育中占有特殊重要的地位。在中学的数学教育中,主导的内容不是那些正在发展中的现代数学分支,而是在人类文化宝库中业已形成的数学思想、知识和方法。“问题”是数学的心脏,数学活动主要是提出问题和解题,而在数学教育活动中,“解题”更是最基本的活动形式。无论是学生的数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得,还是学生智力的培养和发展,都必须通过“解题”。 综观有关解题研究的论述,无论是国外的研究还是国内的研究,在解题理论研究上较多,在解题教学实践上的研究较少,比如:一道题我们该如何教?为什么这样教?我们应教给怎样的学生?这些方面研究较少。 1、解题教学研究中的问题: 有不少人认为,随着数学内容的学习,数学知识的丰富,解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生。解题理论的研究纯属多余。而来自学生的情况却是:许多人学了课本内容却不会解题,还有的人解了许多题却说不清思路。可见,再丰富的经验也无法代替理论,缺乏理论指导的实践常会流于盲目。 有些传统题目十几年乃至几十年无任何改进,从这本书抄到那本书,局部上甚至有流行的错误。解题研究多探讨“怎样解”,较少问“为什么这样解”,长期徘徊在一招一式的归类上,缺少观点上的提高与实质上的突破。 将解题的研究归结为应付升学的考查,解题的规律被简单化为“对题型”、“套解法”,由此产生盲目的“题海战术”。这种模式,将智力开发等同于技艺训练,以考试为目标,以押题、猜题为主要手段,即使获得了高分也扼杀了学生的能力。2、对数学解题研究方向的思考: 解题研究应该谋求和把握的两个发展方向,数学解题研究既不应局限于一招一式的简单模仿,也不应停留于技能技巧的反复训练,而应提升到数学思想和数学方法的理论高度,更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。数学解题的深入研究应该从两个方向上同时一展开:其一是数学知识方向,即解题的每步前进得以依赖的数学规则是什么,如一招一式、技能技巧所能凭借的数学知识是什么,就有学者在研究解题时发现,一些所谓的解题技巧并不是高不可测、深不可究的认识对象,也不是妙手偶得、心血来潮的思维产物,在其背后其实就是不同数学知识之间的本质联系。其二是学习心理方向,即学生解题的心理过程究竟如何展开,如题目已知信息如何启动学生己有知识,如何调动学生解题经验?题目的已知信息与调用的知识经验如何相互作用?在其作用过程中受到哪些因素影响?二、主题部分 数学教学过程不仅仅是将数学知识传授给学生,更重要的是通过解题,教会学生解题的一种思想与方法。数学解题思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是会起作用的。已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员,对于数学教学解题思想与方法作出了一些研究。经阅读大量的资料,现对他们的主要成果阐述如下: 文献1作者浅谈了化归思想方法在中学数学教学解题中的应用,认为化归一种重要的数学思想。并且说明了化归就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理。在中学数学中,化归方法的应用无处不在。例如:在方程研究中,将简单的高次方程、分式方程、根式方程化为一元二次方程或一元一次方程组来求解。在三角函数中求任意角的某种三角函数值都是化为锐角的三角函数求解。所以数学中注意化归思想的培养对学生学习数学,发展解题能力都无疑是至关重要的。 文献2作者认为“问题是数学的心脏”,数学问题的解决是教学中的一个重要组成部分,而几乎所有的数学问题的解决都离不开化归,只是所体现的化归形式不同而已。计算题利用规定的法则进行化归;证明题利用定理、公理或已解决了的命题进行化归;应用题利用数学模型进行化归。所以离开化归,数学问题的解决将寸步难行。 文献3 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 文献4 作者通过实例从几个方面谈谈化归思想在解题中的运用,有些问题与某个基本结论相似,但又不完全具备基本结论的条件,这时可通过各种手段,把问题化归到具基本结论的条件,再运用基本结论使原问题得到解决;有些问题表面上形态各异,有时甚至相去甚远,但是通过深入地化归分析,在本质上可将它们归结为同一个基本问题,这时如果解决了这个基本问题,就解决了一类问题。 文献5 利用数形结合的思想方法解题,主要包括两方面问题,一是“以形助数”即将“数”的问题借助于图形性质使之直观化、形象化而利于获得解决。二是“用数解形”,即将“形的问题经过数量化处理,并借助计算解决。本文就前一个方面的问题,谈谈如何运用数形结合的思想解题。 文献6 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学的两大基石。从“数”中去认识“形”和从“形”中去认识“数”构成了数学思维的基本方法之一。在解决有关问题时,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。 文献7 作者认为在数学教学中,数形结合的解题方法具有直观、灵活的特点,数形结合也是数学解题中的一种重要方法,应用十分广泛。数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系,在二者的对应和互助中,来分析研究问题并解决问题的一种思想。常见的数形结合的途径有三种:以形助数、以数助形和数形互助。本文就数学教学中数形结合思想进行简单的介绍和分析,并对其应用作了研究. 文献8作者认为解决数学问题的方法有很多,构造法是其中的一种基本方法。所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识,通过观察、联想,构造出满足条件的数学对象,或构造出一种新的问题形式,使问题的结论得以肯定或否定,或使问题转化,从而使数学解题打破常规,另辟蹊径,巧妙地获得解决。用构造法解题,其本质是“构造”,但是怎样“构造”,却没有通用的构造法则,因此学生甚感困难,这里就通过实例“构造函数法”,“构造反例法”,“构造数学模型”,“构造对应关系”,“构造性计算法”,“构造图形法”来谈谈构造法。 文献9 传统的数学教学中,教师往往比较重视学生逻辑思维能力的培养,而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养。其实,数学直觉思维也是一种很重要的思维形式,作者对数学直觉思维的概念及其培养途径作了一些探讨。数学思维具有实验、猜想、想像、直觉、灵感等特点。对于学生来说,数学学习是一个再创造的过程。这个过程要求学生除了必须具有一定的逻辑推理能力外,更需要具有非逻辑推理能力。可见我们在注重逻辑思维能力培养的同时,还应该注重观察力、直觉力、想像力的培养。特别是直觉思维能力的培养,由于长期得不到重视,学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解,认为数学是枯燥乏味的,同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要信心,从而丧失数学学习的兴趣。过多地注重逻辑思维能力的培养,不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要,也是现代社会对人才的需求。 文献10从数学的创造性思维本质出发,论述了数学发现和数学解题的一半性规律、原理和方法。上篇阐述了观察、联想、尝试、实验、归纳猜测、类比推广、模拟、化归、几何变换等数学发现的基本方法,数学的论证方法,数学与物理方法,数学智力的开发与创新意识的培养等内容;下篇为数学解题方法论研究,着重阐述了数学解题观、数学解题的思维过程、解题策略、解题思想等,着力在“元方法”即追寻解题思路、解题方法上进行研究,在探求解题思路的微观研究和解题理论上有一定的创新。 文献11阐述了数学换元法的基本思想方法,并分类列举范例说明换元法在解题中应用的常见十种技巧,从中注析各种技巧的特点及其解题的优化作用。恰当地换元会使问题向着更熟悉、简单或容易的方向转化,并且例举数学换元法在解题中的几种常用技巧:整体换元、三角换元、和差换元、参数换元、均值换元、增量换元等方法。 文献12作者浅谈了换元法在解方程中的巧用,灵活地运用换元法解方程,可以化难为易,化繁为简,是学生解决问题能力的重要体现。用换元法解方程关键在于换元,作者分别介绍了在整式方程中换元法的巧用以及分式方程中的巧用,透彻地分析了解方程所运用换元的思想与方法。 文献13作者指出现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养,这不仅要使学生掌握数学知识,而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法,使他们能用数学知识和方法解决实际问题。解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手。这样就要求我们改变思维方向,换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径,构造法就是这样的手段之一,该文详细地阐述了构造法在中学数学解题中的应用。 文献14 教学的目的之一是培养学生具有分析问题与解决问题的能力,也就是培养学生具有能够独立思考进行创造性活动的能力。学生除去必须掌握逻辑分析方法外,还必须掌握探索性思维能力。作者将“怎样解题”分成以下几部分:第一,你必须弄清楚问题;第二,找出已知数与未知数之间的联系,如果找不到直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题,你应该最终得出一个求解的计划;第三,是实行你的计划;第四,验算所得到的解。 文献15 在某种环境中,数学老师要考虑的不是知识传输而是数学思想上的激励。学生数学理解视为发展的内在化并且通过和教师互动阐述他们的数学思想,教师采取一系列教学建构主义观点教育学生是缓慢的。两种社会互动层面上成为一个至关重要的社会建构模型为基础的课堂:教师和学生之间的相互作用,以及学生之间的相互作用。学生之间的社会互动有可能提升学生在多种方式学习。通过与他们的同龄人的讨论,可以培养学生对这个问题的认识,分享解决方案的思路,完善其解决方案的企图,并捍卫他们的数学理解和战略。三、总结部分 数学的主要目的是教会学生学会数学的思考问题, 将所观察到的情况加以一般化、归纳论证,从类比中进行论述,在一个具体问题中认出一个数学概念,或者从一个具体问题中抽象出一个数学概念等,这都是运用数学思想方法的结果。数学思想方法的学习,不像数学知识的学习那样,有章可循,有理可依,它最鲜明的特征是过程性,它要在知识的传授过程中,由教师把某种特定的数学思想方法全境的展现给学生,让学生通过自己的理解,经历去体验、领悟和把握。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。在数学教学过程中,教会学生解题的思想与方法是十分重要的。有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质。学会解题是学习数学的一个重要方面,熟练掌握数学的基础知识和基本技能是能否顺利解题的基础,深刻理解数学的基本方法、基本思路是能否顺利解题的关键。因此,学会数学解题的思想与方法对于中学生来说是至关重要的。四、参考文献1 赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用J.甘肃科技纵横.2007,356:183-184.2 俞平.数学问题化归理论与方法M.广西:广西师范大学出版社,1999年版:52-65.3 叶宝存.浅谈化归思想在数学中的应用J.宁德师专学报.2005,2:178-180.4 张辉.化归思想在数学解题中的运用J.中学数学教学,2001,1:26-27.5 彭继堂.浅谈运用数形结合解题J.中学数学教学.1992,5:33-36.6 吕品.浅谈中学数学中的数形结合J.数学通报,1981,8:3-6.7 王佳灯.数形结合解题中要注意的几个问题J.数学教学,2005,5:42-43.8 徐秋丽.浅谈构造法在数学中的应用J.长春师范学院学报.2004,234:118-121.9 郭向丽.浅谈数学直觉思维及培养J.中国校外教育,2007,3:92-93.10 张雄.李得虎.数学方法论与解题研究M.北京:高等教育出版社.2008年版:23-28.11 程贤清.数学换元法的基本思想及其应用J.中学理科参考资料.1999,2:10-12.12 胡吉康.换元法在解方程中的巧用J.初中生辅导.2008,36:22-25.13 李明振.数学方法与解题研究(第二版)M.上海:上海科技教育出版社,2002年版:339?40