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第十章矩阵位移法 手算 小型 简单问题 讲究技巧 一 手算与电算比较 电算 大型 复杂问题 要求方法具有系统性 通用性 结构力学中的电算方法 结构矩阵分析方法 杆件有限元法 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础 以矩阵作为数学表述形式 以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法 超静定结构分析 力法 位移法 力矩分配法 10 1概述 二 结构矩阵分析方法特点与分类 1 公式推导书写简明 导出公式紧凑 形式规格化 矩阵力法 或称柔度法 以力作为基本未知量 矩阵位移法 或称刚度法 采用结点位移作为基本未知量 借助矩阵进行分析 并用计算机解决各种杆系结构受力 变形等计算的方法 2 各种情况可统一处理 通用性强 3 计算过程规范化 适合计算机进行自动化解算 理论基础 位移法 分析工具 矩阵 计算手段 计算机 对于杆系结构 矩阵位移法因易于编制通用的计算程序 10 1概述 三 矩阵位移法的思路 1 离散 进行单元分析 建立单元杆端力和杆端位移的关系 2 集合 进行整体分析 建立结点力与结点位移的关系 10 1概述 构造结点 杆件的转折点 汇交点 支承点和截面突变点 非构造结点 一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点 1 结点和单元 单元与单元之间通过结点联结 结点一经确定 则单元也就全部确定了 单元 最基本的分析部件 最简单的单元是等截面直杆 梁单元 受轴力 还受剪力和弯矩作用则称为梁单元 梁 刚架 轴力单元 只受轴力作用的单元 桁架 四 基本概念 10 1概述 2 坐标系 结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量 结点的坐标 结点的位移 作用在结构上的外力等 单元局部坐标系固定在单元上 轴与杆轴重合 自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向 用于描述单元的杆端力和杆端位移等 10 1概述 离散化 将结构离散成单元的分割点称作结点 结点的选择 转折点 汇交点 支承点 刚度变化 荷载作用点等 整体编码 单元编码 结点编码 结点位移编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 坐标系 整体 结构 坐标系 局部 单元 坐标系 曲杆结构 以直代曲 变截面杆结构 以等截面杆代变截面杆 10 1概述 不忽略单元的轴向变形时 平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移 2个独立线位移 1个角位移 每一个铰结点则有2个独立线位移 平面刚架单元的杆力列向量为 10 1 平面刚架单元的杆端位移列向量为 10 2 注意 杆端力与杆端位移必定是一一对应的 即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量 3 杆端位移和杆端力 10 1概述 平面桁架铰结点只有两个独立的线位移 与此对应 桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应 但实际上桁架单元的剪力总是为零的 所以有 10 3 杆端位移向量 10 4 其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系 杆端力向量 10 1概述 作用于结点上的所有的力的合力 沿坐标轴方向分解为三个分量 构成该结点的结点力向量 4 结点力和结点位移 与结点力向量对应的是结点位移向量 是矩阵位移法的基本未知量 注意 结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的 10 1概述 杆端位移和杆端力的正负号 作用在结点上的外力和结点位移的正负号 5 正负号规定 强调 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值 反之为负值 力矩和转角以逆时针方向为正 反之为负 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正 反之为负 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值 反之为负值 10 1概述 重点 矩阵位移法基本思想 化整为零 结构离散化 将结构拆成杆件 杆件称作单元 单元的连接点称作结点 单元分析 对单元和结点编码 单元杆端力 集零为整 整体分析 单元杆端力 结点外力 单元杆端位移 结点外力 单元杆端位移 杆端位移 结点位移 结点外力 结点位移 基本未知量 结点位移 10 1概述 1 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系 截面直杆单元e 其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为 10 2单元刚度矩阵 当杆端轴向位移为 时 由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为 a 在线性小位移范围内 忽略轴向受力状态与弯曲向受力状态之间的影响 10 2单元刚度矩阵 杆端横向位移 ij正负号规定 使杆的j端绕i端作顺时针转时为正值 由两端固定等截面直杆的转角位移方程有 b 10 2单元刚度矩阵 将上述 a 和 b 两式合在一起 写成矩阵形式 有 单元在局部坐标系中的单元刚度方程 它可记为 10 6a 10 2单元刚度矩阵 其中 10 7 称为局部坐标系中的单元刚度矩阵 简称单刚 的行数等于杆端力向量的分量数 列数等于杆端位移向量的分量数 的每一个元素称为单元刚度系数 其表示了一个力 10 2单元刚度矩阵 任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力 10 2单元刚度矩阵 单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量 第1列的六个元素就是当 即端点i沿正方向发生单位位移 时 单元的六个杆端力分量 10 2单元刚度矩阵 从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵 图示量均是正的 单元杆端位移示意 10 2单元刚度矩阵 单元杆端力示意 图示量均是正的 10 2单元刚度矩阵 单一位移时的单元杆端力 10 2单元刚度矩阵 单一位移时的单元杆端力 10 2单元刚度矩阵 单一位移时的单元杆端力 10 2单元刚度矩阵 单一位移时的单元杆端力 10 2单元刚度矩阵 2 单元刚度矩阵的特性 反力互等定理 1 是对称矩阵 10 2单元刚度矩阵 表达的杆端力和杆端位移的关系 对应于一个完全的自由单元 没有任何支承约束 可以有任意的刚体位移 2 是奇异矩阵 即 其逆矩阵不存在 可以由杆端位移确定杆端力 反之 若已知杆端力 却不能由式反求杆端位移 物理概念为 局部坐标系中的单元刚度矩阵 只与单元的几何形状 尺寸和物理常数有关 与单元在结构中的位置无关 3 位置无关性 矩阵位移法的单元体现了更强的通用性 10 2单元刚度矩阵 单元刚度矩阵为 3 其他单元的单元刚度矩阵 10 9 1 平面桁架单元 10 2单元刚度矩阵 若把连续梁两支座间的一跨取作单元 杆端位移条件为 单元刚度方程为 10 11 单元刚度矩阵为 10 12 10 13 2 连续梁单元 杆端位移向量与单元杆端力向量为 10 2单元刚度矩阵 注意 矩阵中只列出弯矩没列出剪力 这并不是说连续梁单元中没有剪力 只不过是只把杆端转角作为基本未知量来考虑而己 求出杆端弯矩 便可求出剪力 10 2单元刚度矩阵 整体分析时必须建立一个统一的坐标系 称为整体坐标系 其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整体坐标系方向上来 整体坐标系中 单元杆端位移向量记为 e 单元杆端力向量记为 Fe 问题的提出 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 局部坐标系下的杆端力 整体坐标系下的杆端力 1 单元坐标转换矩阵 局部坐标系与整体坐标系为xoy的夹角 以x轴逆时针转到与局部坐标系为正 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 j端点杆端力转换关系 端点i处的杆端力分量 有下列转换关系 10 10a 10 10b 整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 简记为 将 10 10a 和 10 10b 联合起来写成矩阵形式 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 T 称为单元坐标转换矩阵 T 是一正交矩阵 I 为与 T 同阶的单位矩阵 或 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 同理 由 可得 坐标转换矩阵为 对平面桁架单元 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 整体坐标系中的单元刚度方程写为 局部坐标系中的单元刚度方程写为 由 得 等式两边左乘 得 2 整体坐标系中的单元刚度矩阵 从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 对于平面刚架单元 整体坐标系中的单元刚度矩阵为 式中 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为 整体坐标系中的单元刚度矩阵具有与类似的性质 对称性和奇异性 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 表示单元j端产生单位位移时引起i端的杆端力 对于平面刚架单元 整体分析中 对每一个结点分别建立平衡方程 为了讨论方便 将单元刚度方程按两端的结点i j进行分块 写为 对于平面刚架单元 它们都是3 3阶方阵 对于平面桁架单元 它们都是2 2阶方阵 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 例 整体单刚的计算 已知 求 各单元整体单刚 解 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 10 3单元刚度矩阵的坐标变换 本节开始对结构进行整体分析 后处理法 分析任务 建立结点力与结点位移的关系 结构的刚度方程 例 第一步 编号 建坐标 符号 与整体坐标正向为正 结点力列向量 结点位移列向量 其中 10 4结构的原始刚度矩阵 F K 表示整个结构在整体坐标系中的结点位移与结点力之间的变换关系 明确任务 有n个结点的平面刚架 是3n阶向量 有n个结点的平面桁架 是2n阶向量 F 结构的结点力向量 它是由作用在每个结点上的外力 包括已知的荷载和未知的支座反力 构成的 注意 F 与 的阶数相同 而且是一一对应的 结构的结点位移向量 矩阵位移法的基本未知量 K 结构的整体刚度矩阵 总刚 其行 列数等于结构结点的位移数 10 4结构的原始刚度矩阵 第二步 单元分析 10 4结构的原始刚度矩阵 分别对结点1 2 3 4进行分析 10 4结构的原始刚度矩阵 由变形条件 由平衡条件 如结点2 即 即 10 4结构的原始刚度矩阵 同理 对结点1 3 4的平衡条件为 写成矩阵形式 10 4结构的原始刚度矩阵 上式称为结构的原始刚度方程 简写为 称为结构的原始刚度矩阵 简称总刚 总刚度矩阵特性 1 K 是对称方阵 kij kji 反力互等定理 贮存总刚度矩阵时 只需贮存它的一半就行了 2 K 是稀疏矩阵 非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内 表示结点位移 和结点力 F 之间的关系 反映了结构的刚度性质 而不涉及原结构上作用的实际荷载 并不是原结构的位移法基本方程 10 4结构的原始刚度矩阵 当尚未引进支座条件的情况下 结构刚度方程是无法求解的 未引进支座条件时 结构存在刚体位移 3 K是一个奇异矩阵 特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为原始总刚度矩阵 建立总刚度矩阵有两种方法 1 理论推导 即刚度法 2 直接由单刚阵按一定的规律集成总刚度矩阵 称为直接刚度法 10 4结构的原始刚度矩阵 由总刚中元素的物理意义形成 则有 若令 其他Ki1为0 这种方法太麻烦 10 4结构的原始刚度矩阵 桁架的指示矩阵为 任何一个杆端都与一个结点对应 图示桁架 其单元杆端与结点号可用一个矩阵来表示 矩阵的行数为单元数 列数为2 每一行的两个数分别表示该单元i j端对应的结点号 这个矩阵称为指示矩阵 指示矩阵实际上也给出了各单元坐标系 ij 直接刚度法形成总刚度矩阵 直接刚度法 直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚度矩阵 是目前编制计算机程序最常用的方法 1 首先应将结构的结点和单元编号 编号可以任意编 并不影响计算结果 10 4结构的原始刚度矩阵 2 首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵 3 将单元刚度矩阵划分为4个子块 4 按 子块搬家 对号入座 的原则将单元刚度矩阵中的子块 一块块地搬入总刚度矩阵中 而搬入的位置则根据指示矩阵G的规定来确定 一般的规律是 第e单元i端对应结点号为g j端对应结点号为h 搬家 时将该单元单元刚度矩阵中的子块Kij搬到总刚度矩阵中的子块位置Kgh 即搬到总刚度矩阵中第g子块行 第h子块列中去 10 4结构的原始刚度矩阵 例如 图示桁架第 号单元的4个子块 根据指示矩阵G的指示 分别搬到 10 4结构的原始刚度矩阵 2 用上述 子块搬家 对号入座 装配总刚度矩阵的方法也适用于其他任何杆件结构 各单元都按此原则 搬家 后 桁架的总刚度矩阵为 1234 注意 1 总刚的一个子块位置中搬入几个子块时 这几个子块应叠加 10 4结构的原始刚度矩阵 总刚度矩阵的构造 图示桁架有4个结点 有8个位移分量 u1v1u2v2u3v3u4v4 T 总刚度矩阵则为8阶方阵 将其分成4个子块 平面桁架 每一结点具有两个位移分量 每一子块中就有两行两列共4个元素 1 K32的物理意义是什么 思考 2 k35的物理意义是什么 10 4结构的原始刚度矩阵 1 子块K32表示结点2产生单位位移时引起的结点3的结点力 2 k35表示第5号位移 结点3沿X方向的位移 为一单位时引起沿第3号位移 结点2沿y方向的位移 方向的力 这个力应该理解为相当于按位移法的基本结构所规定的结点2的竖向附加约束的约束反力 4 总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么 3 对于空间桁架和平面刚架 每个子块中含多少个元素 思考 答 10 4结构的原始刚度矩阵 1 首先对其结点和单元进行编号如图示 每个子块都是由3 3阶的9个元素构成的 3 列出刚架的指示矩阵 ij 2 列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵为 平面刚架 10 4结构的原始刚度矩阵 对号入座装配总刚度矩阵为 12345 10 4结构的原始刚度矩阵 主子块 主对角线上的子块 副子块 非主对角线上的子块 相关结点 与结点相邻的结点 相关单元 与结点相连的单元 总刚的特点 总刚的形成 对号入座 同号相加 单刚子块在总刚中的分布规律总结 10 4结构的原始刚度矩阵 解 有关参数 单刚见教材 略 10 4结构的原始刚度矩阵 10 4结构的原始刚度矩阵 10 4结构的原始刚度矩阵 图示刚架原始刚度方程 10 5支承条件的引入 由于结点1 4为固定端 故支承约束条件为 代入结构原始刚度方程 有 和 10 5支承条件的引入 其中 为引入支承条件后的结构刚度方程 可写为 式中 只包括已知结点荷载 只包括未知结点位移 此时的矩阵即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到 称为结构的刚度矩阵或缩减的总刚 此时 由于引入支承条件 消除了结构的任意刚体位移 故结构刚度矩阵为非奇异矩阵 可得到未知结点位移的唯一解 若此时结构刚度矩阵仍奇异 说明原结构为几何可变或瞬变体系 10 5支承条件的引入 求出未知结点位移后 可由单元刚度方程计算各单元的内力 整体坐标系下 单元杆端力为 可求得局部坐标系下单元杆端力 或 局部坐标系下单元杆端结点位移 同样可求得局部坐标系下单元杆端力 10 5支承条件的引入 但是 当全部杆件的内力都求出后 一般可由结点平衡条件求支座反力更方便 10 5支承条件的引入 24 图示刚架的原始刚度矩阵 舍弃与约束所对应的行和列 得到引进了支座条件后的总刚度矩阵 这就是后处理法 即先集成总刚度矩阵 然后再引进约束条 还有先处理法 即先引进支座条件 然后集成总刚度矩阵 暂略 10 5支承条件的引入 1234 引进约束条件后的刚度方程 通过求解线性代数方程组的方法求出未知的结点位移向量 图示平面桁架结构 结构的原始刚度方程为 10 5支承条件的引入 b c 对于平面刚架单元 若单元上作用着非结点荷载 则单元的杆端力将由两部分构成 一部分是由结点位移所引起的 另一部分是非结点荷载作用而直接引起的杆端力 即固端内力 10 6非结点荷载的处理 b 同位移法 刚结点处施加附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移和角位移 此时各单元有固端力 附加链杆和附加刚臂上有附加反力和附加反力矩 由结点平衡条件可知 附加联系上的附加反力等于汇交于该结点的各固端力的代数和 某单元e受非结点荷载作用 单元局部坐标系中的固端力为 固端大小可由固端内力表查得 P252表10 3 10 6非结点荷载的处理 c 取消附加联系 相当于在结点上施加了与上述附加反力和附加反力矩反号的荷载 此荷载成为原结构上非结点荷载的等效结点荷载 注意 这里 等效 指图 a 和图 c 的结点位移相等 整体坐标系中的固端力为 将各分量反号并对号入座送到荷载列阵中去 即为等效结点荷载 10 6非结点荷载的处理 任一结点i上的等效结点荷载FEi为 如果除了非结点荷载的等效结点荷载FEi外 结点i上还作用有直接结点荷载FDi 则i点总的结点荷载为 10 6非结点荷载的处理 各单元最后的杆端力是固端力和综合结点荷载作用下产生的杆端力之和 即 和 或 10 6非结点荷载的处理 表 单元固端约束力 局部坐标系 10 6非结点荷载的处理 表 单元固端约束力 局部坐标系 10 6非结点荷载的处理 表 单元固端约束力 局部坐标系 10 6非结点荷载的处理 表 单元固端约束力 局部坐标系 10 6非结点荷载的处理 计算步骤 1 对结点和单元进行编号 选定整体坐标系和局部坐标系 2 计算各杆的单元刚度矩阵 3 形成结构原始刚度矩阵 4 计算固端力 等效结点荷载和综合结点荷载 5 引入支承条件 修改结构原始刚度方程 得到缩减总刚 6 结算结构刚度方程 求出结点位移 7 计算各单元杆端力 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 K 求单元常数 T F 原始数据 局部码 总码 解方程 F K 求出结点位移 开始 结束 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 10 1求图示刚架的内力 已知各杆材料及截面相同 1 将单元 结点编号 确定坐标系 如图所示 2 求出各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵 见书P247 3 将各单刚子块对号入座 形成结构原始刚度矩阵 见书P248 4 计算非结点荷载作用下的各单元固端力 等效结点荷载及综合结点荷载 对局部坐标和整体坐标不一致的单元 要对刚度 荷载进行坐标转换 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 各单元在其局部坐标系下的固端力为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 经过坐标转换 得到各单元在整体坐标系下的固端力为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 结点2 3上的等效结点荷载为 结点2 3上的综合结点荷载为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 结构的结点外力列向量为 这里 F1和F4应为综合结点荷载和支座反力的代数和 其中支座反力仍为未知量 引入支承条件时 F1和F4将被划掉 因此不必计算其等效结点荷载和综合结点荷载 结构原始刚度方程见书P256 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 5 引入支承条件 修改原始刚度方程 结点1 4为固定端 位移已知 代入原始刚度方程 得到修改后的结构刚度方程为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 6 解方程 求得未知结点位移为 7 计算各单元杆端力 见书P258 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 10 2平面桁架如图所示 各杆截面EA均为常数 已知F1 15kN F2 20kN 试求桁架各杆轴力 解 1 对结点和单元编号 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 2 列出各单元刚度矩阵 整体坐标表示的单元刚度矩阵 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 即 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 3 集合总刚度矩阵 原始总刚度矩阵为 123 取出总刚度矩阵中与自由结点2相对应的元素 第2子块行 第2子块列中的元素 舍弃约束结点所对应的元素 得考虑约束条件后的总刚度矩阵变成 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 4 建立刚度方程并求解 F K 解得 结点位移列向量为 5 求杆端力 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 的单元结点位移向量为 单元 的杆端力为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 的单元结点位移向量为 结果的正确性很容易从结点2的平衡条件判断出来 单元 的杆端力为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 解 1 对应结点及各单元编号 例10 3平面刚架如图所示 各杆截面相同 A 0 24m2 E 1 107kN m2 I 0 0072m4 试求各杆端力 并画出内力图 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 2 列出单元参数表 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 整体坐标表示的单元刚度矩阵公式 3 列出单元刚度矩阵 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 为 单元 为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 4 集合总刚 1234 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 5 引入支座条件 取出自由结点3所对应的子块 构成考虑约束条件后的总刚度矩阵 1234 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 6 计算荷载向量 先求出单元3的非结点荷载引起的固端内力 然后将固端内力反向加到结点上去 荷载向量为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 7 建立结构刚度方程并求解 结构刚度方程为F K 即 所以结点位移向量为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 8 计算杆端力 e 可根据单元两端结点号直接由结点位移向量 中取出 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 1 计算单元坐标变换矩阵T e 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 2 计算各单元的单元坐标表示的单元刚度矩阵 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 3 计算各单元杆端力向量 单元 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 作用非结点荷载 固端内力向量为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 9 画出结构内力图 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 解 1 整理原始数据并编号 各跨的线刚度相等 i EI 12 进行结点编号 位移编号 单元编号 例10 4用矩阵位移法计算图所示的连续梁的内力 EI 常数 2 建立结点位移向量 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 3 建立各单元的定位向量 各单元的单元定位向量分别由该单元两端的位移编号组成 连续梁的单元局部坐标系与结构整体坐标系平行 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 5 集成整体刚度矩阵K 注意定位与累加 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 6 形成荷载向量F 计算单元固端内力 将固端内力反向加到结点上去 同一结点上同向的力叠加而成 荷载向量为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 7 建立结构整体刚度方程 并求解结点位移向 解得结点位移向量 为 整体刚度方程K F 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 8 计算各杆的杆端内力 由 算得各杆的杆端内力 弯矩 为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 由各杆的杆端内力 弯矩 则可绘出弯矩图 其结果与用力矩分配法计算的结果相同 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 例10 5平面桁架如图所示 各杆截面EA均为常数 已知F1 20kN F2 30kN F3 40kN 试用先处理法求各杆轴力 解 1 对结点和单元编号 2 列表表示各单元参数 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元参数表 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 3 列出各单元的定位向量 4 列出各单元刚度矩阵 整体坐标 并配以定位向量 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 0001 0123 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 2300 0000 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 0023 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 0100 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 5 集成总刚度矩阵 按照单元刚度矩阵各行列对应的定位向量中的数值将该元素搬入总刚阵中 得 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 6 建立刚度方程并求解 刚度方程为 即 解出 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 结点位移向量为 7 计算单元杆端力 拉 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 拉 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 单元 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 其他单元计算过程从略 结果为 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 对于平面刚架单元 若单元上作用着非结点荷载 则单元的杆端力将由两部分构成 一部分是由结点位移所引起的 另一部分是非结点荷载作用而直接引起的杆端力 即固端内力 单元的杆端力将是两部分之和 即 这就是计算杆端力的完整的公式 固端内力向量可由固端内力表查得 10 7矩阵位移法的计算步骤和示例 1 结点位移分量的编号 单元定位向量 2 对位移编号时 按结点的顺序进行 一个结点内的编号又按x方向 y方向的线位移和转角顺序进行 1 对每一个结点编号 还要对每一个位移也编号 凡是约束对应的位移编为零号 结点位移编号数组中的最后一个数就表示了该结构未知数的数目 编号 10 8几点补充说明 建立各单元的定位向量 单元的定位向量 e 把某一单元两端结点所对应的位移号按照由始端到末端的次序所列成的列向量称为该单元的定位向量 图示刚架各单元的定位向量为 10 8几点补充说明 形成总刚度矩阵 思考 定位向量中 零 所对应的单元刚度矩阵中的元素搬入总刚度矩阵中何位置 按定位向量所指示的位置把单元刚度矩阵中的各元素搬入总刚度矩阵 10 8几点补充说明 2 总刚的带宽与存储方式 结构的总刚度矩阵具有大量的零元素 这种矩阵称为稀疏矩阵 同时 那些非零元素通常集中在主对角线附近的斜带形区域内 成为带状矩阵 在带状矩阵中 每行 列 从主对角线元素起至该行 列 最外一个非零元素止所包含的元素个数 成为该行 列 的带宽 某行 列 带宽 该行 列 结点位移分量号 最小相关结点位移分量号 1 所有各行 列 带宽中的最大值称为矩阵的最大带宽 最大带宽 相关结点位移分量号的最大差值 1 等带宽存贮 满阵存贮 10 8几点补充说明 10 8几点补充说明 等半带宽与结点编码有关 19层 1 2 3 4 39 40 总刚占用存贮单元 1 2 20 21 40 19 22 总刚占用存贮单元 39 最大带宽 相关结点编号的最大差值 1 3 即 最大带宽 max j i 1 3 10 8几点补充说明 3 关于支承条件的引入 1 置大数法 N为一个充分大的数 做法 取大数N 总刚中元素乘以N 并用替换 10 8几点补充说明 2 化零置一法 精确方法 做法 1 用 中的第i列 代替 2 将总刚中第i行第i列的非主对角元素置0 3 将总刚中主对角元素置为1 总荷中元素置成c 经边界条件处理后的总刚称为结构刚度矩阵 10 8几点补充说明 关于斜边界的处理 如图示意的斜支座情况 有多种处理方案 1 通过单元的坐标转换来处理 2 通过增加一个单元来处理 3 对整体刚度矩阵进行处理 参见有关教材 图示有斜支座单元 r结点处以倾角 来进行坐标转换 也即在r结点处整体坐标为图示xy 图示有斜支座单元 r结点处沿y方向增加一个刚结的单元 此单元有 无穷大 的抗拉刚度 但没有抗弯刚度 单元长度可任意 10 8几点补充说明 4 铰结点的处理 1 传统位移法 不把铰结端的转角作为未知量 2 引用具有铰结端的单元刚度矩阵 3 将各铰结端的转角均作为基本未知量求解 4 主从关系 10 8几点补充说明 5 先处理支承条件及忽略轴向变形影响 先处理法 将约束已经消除的结点位移排除在刚度方程之外 集成总刚度矩阵时根本不需考虑约束结点的存在 目的是减少未知数的数目 缩小总刚度矩阵的体积 减少计算工作量 10 8几点补充说明 集成总刚阵时必须使用整体坐标表示的单元刚度矩阵 用先处理法集成总刚阵时必须先建立各单元的定位向量 根据定位向量的指引将单刚阵中的元素逐个搬入总刚度矩阵中 用后处理法集成总刚阵时必须先集成原始总刚度矩阵 集成原始总刚阵时应根据结点编号情况指示矩阵G以子块搬家的方式将单刚阵中的子块逐个搬入总刚度矩阵中 10 8几点补充说明 如不考虑轴向变形的单元 由6 6刚度矩阵划去1 4行和列后可得 10 8几点补充说明 平面刚架程序的扩大功能 1 平面桁架 2 桁梁组合体系 3 斜向支座 4 弹性支座 5 弹性地基 6 带铰结点的刚架 10 8几点补充说明 总结 矩阵位移法与位移法在理论上并无区别 只是在表达方式上有所不同 1 矩阵位移法的理论基础与一般位移法完全相同 只是表达方式不同 用矩阵形式表示具有更强的概括性 2 总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵装配成的 只要找出了装配的规律 总刚度矩阵不必计算而可直接由单元刚度矩阵装配而成 3 矩阵位移法与一般位移法解题步骤的对应关系可以由下表表示 总结 一 基本概念 结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一种方法 与传统的力法 位移法相对应 在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法 或柔度法与刚度法 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用 矩阵位移法是结构力学中的位移法加上矩阵方法 矩阵位移法的基本未知量也是结点位移 独立的线位移和转角 但由于有时考虑杆件的轴向变形 且把杆件铰结端的转角也作为基本未知量 因此 基本未知量数目比传统位移法的基本未知量多一些 总结 矩阵位移法的基本思路是 1 先把结构离散成单元 进行单元分析 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系 2 在单元分析的基础上 考虑结构的几何条件和平衡条件 将这些离散单元组合成原来的结构 进行整体分析 建立结构的结点力与结点位移之间的关系 即结构的总刚度方程 进而求解结构的结点位移和单元杆端力 在从单元分析到整体分析的计算过程中 全部采用矩阵运算 总结 集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法 即由单元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵 又可分为后处理法和先处理法 1 后处理法 1 集成 对所有单元不做边界条件处理 均采用自由式的单元刚度矩阵 按单元的结点编号将单元刚度矩阵分为四个子块 阶数相同 逐块地将结点所对应的子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座 形成结构的原始刚度矩阵 由于结点位移分量中包括了非自由结点的已知位移 原始刚度矩阵为奇异的 需进行边界条件处理 才能求解自由结点位移 由于原始刚度矩阵的阶数较高 所以后处理法的主要缺点是占用较多的计算机内存 二 总刚度矩阵的集成及约束处理 总结 对于每个结点位移分量数相同的结构 原始刚度矩阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目 例如 每个结点位移分量数为3的平面刚架 结构原始刚度矩阵的阶数为3n 3n 总结 对于刚性支座 用划行划列法处理刚性支座 即直接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列 这样做有时要改变原方程的排列顺序 会给编程带来麻烦 为了不改变原方程的排列顺序 同时又要引入边界条件 采用 主一副零 法 2 边界条件处理 设结点位移向量中第r个位移等于零 即 r 0 则在结构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改为1其余元素改为零 同时将结点结点荷载列向量P中的第r个分量也改为零 即 总结 对于支座位移等于给定值时 采用 乘大数法 设结点位移向量中第r个位移等于d0 在矩阵K与向量P中 主对角元素krr改为G krr 将Pr改为d0 G krr 其中G为一大数通常取108 1010 总结 单元定位向量 按单元连接结点编号顺序由结点未知位移编号组成的向量 2 先处理法 1 集成 将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的元素在结构的刚度矩阵中对号入座 形成总刚后即可进行求解 上述过程可通过引入定位向量来实现 在单元定位向量中考虑边界条件 凡给定的结点位移分量 其位移总码均编为零 与总码编为零相应的行 列元素在集成总刚时被屏弃在外 总结 2 边界条件处理 对于刚性支座 其位移总码均编为零 对于支座位移等于给定值时 通常也将其位移总码均编为零 将支座结点位移的影响转换成单元非结点荷载 即 将支座结点位移转换成与该支座结点位移连接的各单元在单元坐标系中的杆端位移 求出由此给定的杆端位移产生的单元固端力 然后转换成等效结点荷载 通常用主对角元素叠加法处理弹性支座 如果结构的第j个自由度是弹性约束 那么 把弹性支座的刚度系数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到经约束处理后的总刚度方程 3 弹性支座的处理 总结 总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间的关系式 是结构应满足的平衡条件 无论何种结构 其总刚度方程都具有统一的形式 4 总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点 K P 式中K为总刚度矩阵 为结构的结点位移列向量 P为结点力列向量 总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度 是描述结点力与结点位移之间关系的系数矩阵 其矩阵的性质与特点 总结 1 元素kij的物理意义为 当 j 1而其他位移分量为零时产生在 i方向的杆端力 2 主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的主子块叠加而得 3 当i j为相关结点时 副子块Kij就等于连接ij的杆单元中相应的子块 若i j不相关 则Kij为零子块 4 总刚度矩阵为对称矩阵 5 总刚度矩阵为稀疏带状矩阵 愈是大型结构 带状分布规律就愈明显 6 总刚度矩阵主对角元素都大于零 通常是主对角元素占优势的矩阵 因此 线形方程组的解有较好的稳定性 总结 5 总刚度矩阵的最大半带宽 总刚度矩阵的上三角部分 从某行的主对角元素到该行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带宽 各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽 对应于后处理法 结构内部不存在组合结点时最大半带宽的计算公式为 d b 1 c 其中b为单元两端结点编码的最大差 c为结构中一个结点的位移分量数 显然 最大半带宽与结构的结点编码的顺序有关 通常应使相邻结点编码的最大差值为最小 即d值为最小 总结 例如图示刚架 按图a编码 d 3 9 1 30 而按b图编码 d 3 3 1 12 总结 如果结构内部存在组合结点 并采用先处理法 则不能用上述公式计算总刚度矩阵的最大半带宽 而应按照单元编 利用单元定位向量求出总刚度矩阵的最大半带宽 设用MAX表示单元 e 定位向量中的最大分量 MIN表示单元 e 定位向量中的最小分量 则 de MAX MIN 1 总刚度矩阵的最大半带宽为 d MAX d1d2 dn 总结 1 初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常数混淆 造成求等效荷载时出错 单元的固端力是在固定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力 即固端力 二 需要注意的几个问题 2 在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除EA项 即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵 3 为适应计算机计算 节省内存和机时 在对结点编号时应力求使相关结点的最大差值为最小 以减小总刚度矩阵的带宽 例如 对于梁式杆 不论