2019_2020学年高中数学第4章函数的应用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解教学案新人教A版.docx

4.5.2用二分法求方程的近似解(教师独具内容)课程标准：探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，并知道用二分法求方程近似解具有一般性教学重点：理解二分法的原理及其适用条件，掌握用二分法求方程近似解的一般步骤教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解.【知识导学】知识点一二分法的概念对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度，用二分法求函数yf(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b)的中点C(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc；若f(c)f(b)0(此时x0(c，b)，则令aC(4)判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)(4)【新知拓展】1用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用如求函数f(x)(x1)2的零点近似值就不能用二分法2用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量3二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点当区间长度小到一定程度时，就得到近似值4由|ab|，可知区间a，b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值精确度与精确到是不一样的概念比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间a，b满足|ab|0.1，比如零点近似值所在区间1.25,1.34若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.5在第一步中要使区间a，b的长度尽量小，且f(a)f(b)0.6由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()(4)精确度就是近似值()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列函数的零点不能用二分法求解的是_yx21；yx2；yyln x2.(2)用二分法求方程x330的近似解时，若初始区间为(n，n1)，nZ，则n_.(3)用二分法求函数yf(x)在区间2,3上的零点的近似值，验证f(2)f(3)0，此时零点x0所在的区间是_答案(1)(2)1(3)(2,2.5)题型一 二分法的适用条件例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()解析按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A答案A金版点睛运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点(1)下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是()(2)用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是()f(x)在区间a，b上是连续不断的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.AB CD答案(1)C(2)A解析(1)由于只有C满足图象连续，且f(a)f(b)0，故只有C能用二分法求零点(2)由二分法的定义知正确.题型二 用二分法求方程的近似解例2利用计算器，求方程2x63x的近似解(精确度为0.1)解设f(x)2x3x6，在同一平面直角坐标系中作出函数y2x和y63x的图象，观察图象可以发现，它们的图象仅有一个交点，即方程2x63x有唯一解，设为x0.因为f(1)23610，所以f(1)f(2)0，即方程2x63x的解x0(1,2)利用二分法，可以得到下表：我们得到区间(1.1875,1.25)的长度为0.0625，它小于0.1，因此可选取这一区间的任意一个数作为方程的近似解，如可取x01.2作为方程的一个近似解金版点睛利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度为0.1)解f(1)11110，f(x)在区间1,1.5上存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：|1.3751.3125|0.06250.1，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.3125,1.375内，故函数零点的近似值可以为1.3125.题型三 二分法的实际应用 例3现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重如何称？解先在天平左右各放4个球有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重金版点睛二分法在实际问题中的应用(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币答案3解析从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币故填3.1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)ln x3Cf(x)x22x2Df(x)x24x1答案C解析因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点2用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2，1B1,0C0,1D1,2答案A解析f(2)30，f(2)f(1)0，故可取2，1作为初始区间，用二分法逐次计算3对于用二分法求方程f(x)0在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(a，b)的中点x13，计算得f(2)f(3)0，则此时方程的解x0_(填区间)答案(2,3)解析由二分法原理可知x0(2,3)4在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.6875)0，即得出方程的一个近似解为_(精确度为0.1)答案0.6875解析f(0.625)0，f(0.6875)0，方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.750.6875|0.1，方程的一个近似解为0.6875.5求方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)解在同一平面直角坐标系中，作出ylg x，y