吴赣昌编_《概率论与数理统计》第二章.doc

吴赣昌经管类三版复习提要及课后习题解答习题2-21. 设，且，求 解：2、设随机变量的分布律为，求（1）；（2）；（3）解：由分布律的性质，得（1）（2）（3）3、已知X只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为，求常数c，并计算。解：由分布律的性质有，所以4、一袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取5只球，以X表示取出的3只球中的大号码，求X的分布律。解：由题意知，X所有可能取到的值为3，4，5，由古典概率计算公式可得分布律为，5、某加油站替出租公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元。因为代出租汽车这项业务，每天加油站需多付职工的服务费60元。设加油站每天出租汽车数X是随机变量，其分布律为;X10203040pk0.150.250.450.15求：出租汽车这项业务的收入大于额外支付职工服务费的概率（即这项服务盈利的概率）解：设A=“这项服务盈利的概率”，由题意 题型2 常见分布的应用，几何分布、二项分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近6（几何分布）、设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X表示在两次调整之间生产的合格品数，求（1） X的分布律；（2）；（3）在两次调整之间能以0.6的概率保证生产出合格品的数量不少于多少？解：（1）X=k表示这k次全生产了合格品，第k+1次生产了废品，所以这是几何分布的问题，（2）（3）设数量不少于n，则由题意知，所以有所以，因而有，解得n=57、某运动员投篮的命中率为0.6，求他一次投篮时，投篮命中次数的概率分布解X01p0.40.68、某种产品共10件，其中3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品数的概率分布。解：设X表示取出的3件产品中次品数，则X：0，1，2，39、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从中任取一件，取出的产品仍放回，求直到取到正品为止所需次数X的概率分布。解：X：1，2，n，取到次品的概率为，取到正品的概率为，X12nP0.70.3*0.70.3n1*0.710. 设，如果，求。解：因为，所以；而，所以又，所以；所以11、（二项分布的泊松逼近）纺织女工照顾800个纺锭，每个纺锭在某一时间段内断头的概率为0.005，求在这段时间内断头的次数不大于2次的概率。解：设X：在某时间段内800个纺锭断头的数量，则12、设书籍上每页的印刷错误的个数服从泊松分别，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解：设X：每页的印刷错误的个数，由题意，即，由题意可得，解得，所以所以，每页上没有印刷错误的概率为设Y：检验的4页中没有印刷错误的页数，则所求概率为13、设在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率。解：设表示在时间t（分钟）内通过某交叉路口的汽车数，则由题意，所以即，所以又，所以，所求概率为习题2-33. 已知离散型随机变量的分布列为：，试写出的分布函数。 解 的分布列为 所以的分布函数为 6、设随机变量的分布函数为 ，求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质 于是 ，所以的分布函数为 ， （2）； （3）的概率密度为习题2-41、设，则2、已知，求解：3、设（1）求A，B解：由得，所以，即（2）求（3）4、服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度为，求A及其分布函数。解：由所以其密度函数为分布函数为5、设X服从（1，5）上的均匀分布，如果（1），（2）求解：因为，所以（1）当时，（2）当，6、【本题是连续型与离散型随机变量的综合题目】设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时刻到达是等可能的，计算在车站候车的10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟的概率。解：由于乘客在【0，5】时间段内到达车站是等可能性的，设X：乘客在【0，5】时间段内到达的时刻，则，所以A=“每位乘客等待乘车的时间超过分钟”，所以，设Y=“10位乘客中等待时间超过4分钟的人数”，则所以，是所求概率为7、设XN（3.22）（1）求P (2X5)，P (4)2，P (X3)解：若XN（，2），则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）决定C使得P (X C )=P (XC)解：P (X C )=1P (XC )= P (XC)，得P (XC )=0.5又P (XC )= C =38、设测量误差，进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。解：误差的绝对值超过19.6的概率为 设Y：100次独立测量中误差超过19.6的次数，则所以【评注】本题用到正态分布的标准化，二项分布的泊松逼近。9、计件超产奖，需对生产定额做出规定。假设每名工人每月装配的产品数。假定希望10%的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获得超产奖。解：设需要完成n件产品才能获得超产奖。则由题意知，要获得超产奖就需生产的产品数大于等于n，所以所以有10、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:11、设某城市男子身高，（1）问应如何选择公共汽车的车门高度才能使男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182厘米，求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个概率。解：因为，所以（1）设车门的高度为h，则当“”时，男子能与车门碰头所以由题意，将其标准化，可得 （2）当男子的身高大于182厘米时，能与车门碰头，所以设Y：100个男子中与车门碰头的人数，则所以所求概率为12、某人到火车站有两条路，第一条路程短，但交通拥挤，所需时间服从；第二条路程长，但意外阻塞较少，所需时间服从。（1）若离开车时间只有60分钟，应选择哪条线路？（2）若离开车时间只有45分钟，应选择哪条线路？解：设X：选择第一条线路到达车站所需的时间，则Y：选择第二条线路到达车站所需的时间，则（1）两条线路在60分钟内到达车站的概率分别为；所以应选第一条。（2）两条线路在45分钟内到达车站的概率分别为所以应选第二条13、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此14、某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件，其寿命都服从同一分布，密度函数为，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一个电子元件损坏的概率。解：设X：电子元件的使用寿命，则，所以A=“使用到200小时，电子元件损坏”，则设Y：三个元件在使用到200小时，损坏的个数，则所以15、设；记，试证对任意总有。证：所以.习题2-51、2、3、设，求的密度函数（以c0为例）解：因为，所以设的分布函数为（1）当时，有，即，此时（2）当时，有，即，此时（3）当时，有，即，此时所以可得同样可讨论c0时的情形解法2：利用定理求解因为是严格单调函数，所以，；又当时，有所以4、，求的概率密度解：因为，所以设的分布函数为，则当时，所以所以5、设XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度解： X的概率密度是 Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY（y），则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =当y1时，( y)= FY ( y) = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y0时：( y)= FY ( y) =6、设X的密度函数为，分布函数为，求下列函数的概率密度（1）；（2）；（3）解：(1) 当时，所以当时，所以当y=0时，所以（2）所以（3）当时，所以当时，所以7、某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有TN（98.6，2），试求()的概率密度。已知解：法一： T的概率密度为 又 是单调增函数。 反函数存在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()为 法二：根据定理：若XN（1， 1），则Y=aX+bN (a1+b, a2 2 )由于TN（98.6, 2）故 故的概率密度为：总复习题1、从1-20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k 成正比，求取到偶数的概率。解：设X=“从1-20的整数中取到的数”，则由题意（c待定）而，所以，得到所以设A=“取到偶数”，则2、如果每次射击中靶的概率为0.7，求射击10炮，（1）命中3炮的概率；（2）至少命中3炮的概率；（3）最有可能命中几炮解：设10炮中命中的炮数为X，则（1）（2）（3）由于（10+1）*0.7=7.7，不是整数，所以最有可能命中7炮。3、（用泊松逼近近似计算实际应用的题目）在保险公司内有2500名同年龄段和同社会阶层的人参加人寿保险，在1年内每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司中领取20000元的赔偿金。求（1）保险公司亏本的概率（2）保险公司获利分别不少于100000，200000元的概率解：设1年内死亡的人数为X，保险公司获利为Y元则；（保险公司获利Y万元）（1）P（保险公司亏本）=（2）4、一台总机有300台分机，总机有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为0.03，求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的最有可能台数。解：设X：300台分机同时向总机要外线的台数，则则“每台分机向总机要外线时，能及时得到满足”等价于要外线的台数不多于13台，所以（2）(300+1)*0.03=9 5、在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼叫的次数服从参数为的泊松分布，而与时间起点无关，求：（1）某一天从中午12点至下午3点没有收到紧急呼叫的概率（2）某一天从中午12点至下午5点至少收到一次紧急呼叫的概率解：（1）设X：从中午12点至下午3点收到紧急呼叫的次数，则所求概率为（2）设Y：从中午12点至下午5点收到紧急呼叫的次数，则所求概率为6、7、8、使用了小时的电子管，在以后的小时内损坏的概率为，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数，并求电子管在T小时内损坏的概率。解：9、10、某城市饮水的日消费量X（单位百万升）是随机变量，其密度函数为求：（1）日消费量不低于600万升的概率 （2）日消费量介于600万升到900万升的概率。解：（1）（2）11、12、13、14、设X具有关于y轴对称的密度函数，即，分布函数为，证明，对于任意，有（1）；（2）；（2）证：（1）而所以（2）（3） 15、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 解： K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。 16、某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名。假设报名者的考试成绩，已知90分以上的12人，60分以下的83分，按照从高分到低分依次录取，某人的成绩为78分，问此人能被录取的概率。解：本题应首先确定正态分布中的两个参数，由于报名人数较多，所以可用频率近似代替概率。由题意;由以上两式可解得，所以再确定此人能否被人录取，关键看录取率，而录取率为，有两种方法法一：如果成绩高于78分的概率大于录取率，则此人不能被录取，因为0.2119m时，购买物品的人数多于顾客数这是不可能的，=0）7、设，且，求（1）常数a，b；（2）；（3）解：（1）由下列方程组可求得a，b（2）类似（1）中的方程2可得（3）类似第一题的求法8、设X和Y具有相同的分布，X的密度函数为；已知事件A=与事件B=是相互独立的，并且，求数a。解： 9、某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，10、设，求；若已知，求c解：（1）提示将密度函数化成正态分布的标准形式，所以（2）关于y轴对称，所以c=211、抽样调查表明，考生的外语成绩近似服从正态分布，已知平