4平差数学模型与最小二乘原理2.ppt

误差理论与测量平差基础 测绘工程学院鲍建宽 第4章平差数学模型与最小二乘原理 第四章平差数学模型与最小二乘原理 本章教学内容 4 1测量平差概述4 2函数模型4 3函数模型的线性化4 4测量平差的数学模型4 5参数估计与最小二乘原理4 6综合练习题 要求 掌握各类控制网必要元素的数目与类型和多余元素数的计算方法 平差数学模型的概念 最小二乘原理及其应用 重点 必要起算数据 必要观测个数的确定 平差的数学模型及其线性化方法 最小二乘法 第四章平差数学模型与最小二乘原理 4 1测量平差概述 测量的目的 确定某些几何量的大小确定相应的几何模型 注 确定一个几何模型 并不需要知道该模型中所有元素的大小 而只需要知道其中部分元素的大小就行了 其它元素可以通过它们来确定 一 确定模型的必要元素 必要元素 量 能够唯一确定一个几何模型所必须知道的元素 其个数用tm表示 必要元素的获取途径 本次测量值 往次测量成果 注 例1 确定三角形形状与大小 只需知道其中任意的两角一边 两边一角或三边三个量就可以了 必要元素的个数tm只取决于模型本身 个数与类型所有的必要元素都是彼此函数独立的量 不能互替模型中所有的量都是必要元素的函数模型中作为必要元素的 量 不是唯一的 3 必要起算元素或配置元素 在唯一确定一个几何模型的tm个必要元素中 不能通过本次测量作业测定的量 其数目用t0表示 可见有 tm t t0 2 必要观测量 元素 为了能够唯一确定一个几何模型所必须测量的元素 其个数用t表示 称为必要观测个数 注 必要观测量的类型 与测量技术与设备有关 在同一模型中 有些量当前测量不了 例2确定三角形形状和大小 tm 3 如果只测角度 则t 2 t0 1 若只测边 t t0 4 多余观测元素 量 为及时发现测量中的错误 除必要观测量外还要观测的其它量 其个数用r表示 称为多余观测个数 5 观测值总数用n表示 r n t 在一个几何模型中 除tm个独立量外 若再增加一个量 在必然要产生一个相应的函数关系式 如 例 中增加为3个角度 则 条件方程 4 1测量平差概述 二 多余观测与条件方程 注 一个几何模型中 如果有r 个多余观测 就产生r个条件方程 可见 在列条件方程前 先确定必要观测数t tm t0 由于观测值不可避免地存在观测误差 由观测值组成上述条件方程必不能满足 即 造成条件方程不闭合 或者说存在闭合差 由于 则有 条件方程 求出一组真误差 改正数 消除闭合差 平差 4 1测量平差概述 三 常用测量控制网必要观测个数的确定 1 测站方向观测 目的 确定各个目标的方向 方位 观测值 量 角度 必要起算元素 一边的方位角t0 1 若没有已知方位角 可以假设一边的方位角 必要观测值个数 t tm t0 总方向数 1 多余的起算元素个数 2 平面 测角三角网 目的 确定网中各点在坐标系中的坐标 观测值 量 网中各内角的角度 必要起算元素 一点坐标 一边方位和边长 等价于两点坐标 t0 4 若没有已知点和已知方位 可以假设 必要观测数 t 2 总点数 2 多余的起算元素个数 3 平面 测边三角网 目的 确定网中各点的坐标 观测值 量 网中各点间距离 必要起算元素 一点坐标 一边方位 t0 3 若没有已知点和已知方位 可以假设 必要观测值个数 t 2 总点数 3 多余的起算元素个数 4 平面 边角三角网 目的 确定网中各点的坐标 观测值 量 网中的角度和边长 必要起算元素 一点坐标 一边方位 t0 3 若没有已知点 可以假设一点坐标 一边方位 必要观测值个数 t 2 总点数 3 多余的起算元素个数 5 高程控制网 水准网 目的 确定网中各点的高程 观测值 量 网中两点间的高差 必要起算元素 一点的高程 t0 1 若没有已知点 可以假设一点的高程 必要观测值个数 t 总点数 1 多余的起算元素个数 常用控制网的必要起算数据个数与类型 据起算数据情况 把控制网分为 自由控制网 不足或仅有必要的起算数据附和控制网 有多余的起算数据 4 1测量平差概述 四 计算t和r的例题 1 水准网 2 测角网 a b 多余观测个数 r n t 当n t时 不能确定平差问题的模型n t时 能确定模型 但无检核 有无粗差不知n t时 有多余观测 因观测误差使观测值间产生矛盾 使模型出现多解 通过平差处理 让观测值的平差值之间满足相应的条件关系 消除矛盾 获取模型的唯一最优解 五 多余观测与平差的关系 4 2测量平差的数学模型 平差数学模型包括 函数模型和随机模型两个部分 函数模型是指模型 几何 物理 中量 观测量 未知参数 的真值 或期望值 之间的函数关系式 随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特征 常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示 函数关系式有线性非线性之分 线性函数模型与非线性函数模型 线性化后处理 一 函数模型 1 条件平差的函数模型 条件方程 一般的 一 函数模型 1 条件平差的函数模型 若有平差问题 观测向量为L 权阵为P 其中必要观测个数为t个 多余观测个数为r n t 则产生r个条件式 值得注意 条件方程的个数等于多余观测数r各条件式之间必需是线性无关的 独立 一个平差问题中 条件形式不唯一 选取形式最简为易 闭合差 t 2 选2个参数 这两个参数可以确定模型 函数模型 一 函数模型 2 间接平差 参数平差 的函数模型 一般的 选择t个函数独立的参数 这些参数刚好能够确定模型 则函数模型为 线性情况下 一 函数模型 2 间接平差 参数平差 的函数模型 一 函数模型 3 附有参数的条件平差的函数模型 条件方程个数r u c个 一般的 在具体平差问题中 观测次数n 必要观测次数t 则多余观测次数r 再增加u个独立参数 且0 u t 则总共有r u c个条件方程 一般形式是 线性情况下 一 函数模型 3 附有参数的条件平差的函数模型 4 附有限制条件的间接平差法的函数模型 选择u个参数 u t 且包含t个函数独立的参数 则多选择的s u t个参数必然是t个独立参数的函数 亦即u个参数之间存在s个函数关系 函数模型为 线性形式是 选择u个参数 其中有s个不独立参数 且不包含t个函数独立的参数 则u个参数之间存在s个函数关系 函数模型为 线性形式 5 附有限制条件的条件平差法模型 4 2测量平差的数学模型 平差数学模型包括 函数模型和随机模型两个部分 函数模型是指模型 几何 物理 中量 观测量 未知参数 的真值 或期望值 之间的函数关系式 随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特征 常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示 函数关系式有线性非线性之分 线性函数模型与非线性函数模型 线性化后处理 设有函数 设 由于和 是微小量 对非线性函数进行Talay展开 只保留一阶项 于是有 若令 4 3函数模型的线性化 则函数F的线性形式是 线性化方法 把L和X0代入式子算出常数项 再加微分 平差的最终目的都是对参数和观测量 或 作出某种估计 并评定其精度 一 参数估计及其最优性质 4 4最小二乘原理 设有参数 其真值为 估计值为 最优估计量具有的性质 无偏性 则称为的无偏估计量 一致性 则称为的一致估计量 n为子样容量 任意小正数 则称为的严格一致估计量 有效性 如果两个无偏估计量和 满足 则称比有效 则为的最有效估计量 称为最优估计量 具有无偏性 最优性的估计量必然是一致性估计量 4 4最小二乘原理 二 最小二乘法 例 求一组最优解 满足 观测值的残差 改正数 观测值的平差值 最小二乘法的表达式 同精度独立最小二乘法 加权最小二乘法 广义最小二乘法 练习题 1几何模型的必要元素与什么有关 必