3.4数列综合应用.doc

厦门汇利商业学习中心数列综合应用1.设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（提示：充分性用数学归纳法）（）设，证明：;（提示：放缩后累加）（）设，证明：（提示：用放缩法）2.设数列满足其中为实数，且（）求数列的通项公式（）（）设，,求数列的前项和；（）（）若对任意成立，证明（提示：用反证法） 3.对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（；）（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（提示：用比较法）（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时， 证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，记数列为，则 所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有 即存在正整数，当时，4.数列满足，（），是常数（）当时，求及的值；（；a3 =-3）（）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（数列不可能为等差数列。）（）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有证明：记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，则满足故的取值范围是5.已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.解：()证明： 因为所以，由点在函数的图象上,， 又 所以，是的等差数列 所以,又因为,所以, 故点也在函数的图象上. ()解:,令得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.6.（广东卷理21）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得7.（广东卷文21）设数列满足， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和。【解析】（1）由得 又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列， ，当n为奇数时当n为偶数时 由 得 ，由 得 ， 同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此当n为奇数时当n为偶数时 （2） 当n为奇数时， 当n为偶数时令 得: -得: 当n为奇数时当n为偶数时因此8.（湖北卷理21）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）9.（湖北卷文21）已知数列,其中为实数，为正整数. （）证明：当（）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解： ()证明：假设存在一个实数l，使an是等比数列，则有,即（）2=2矛盾.所以an不是等比数列.（）证明： 又由上式知故当数列bn是以为首项，为公比的等比数列.（）当由（）得于是 当时，从而上式仍成立. 要使对任意正整数n , 都有 即 令 当n为正奇数时，当n为正偶数时， 于是可得 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 的取值范围为10.（湖南卷理18）数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解: ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，11.（湖南卷文20）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，求使的所有k的值，并说明理由。解：（I）因为所以 一般地, 当时， 即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列， 因此当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 （II）由（I）知， 于是.下面证明: 当时，事实上, 当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.12.（江苏卷19）（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。解：（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)，综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。13.（江西卷理19）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子之一，解得故（2）14.（江西卷文19）等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列, ，且(1)求与；(2)求和：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数， 依题意有解得或(舍去) 故（2） 15.（辽宁卷理20）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分12分解析：（）由条件得由此可得 2分猜测4分用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立7分（）n2时，由（）知9分故综上，原不等式成立 12分16.（辽宁卷文19）在数列，是各项均为正数的等比数列，设（）数列是否为等比数列？证明你的结论；（）设数列，的前项和分别为，若，求数列的前项和本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分12分解：（）是等比数列2分证明：设的公比为，的公比为，则，故为等比数列5分（）数列和分别是公差为和的等差数列由条件得，即7分故对，于是将代入得，10分从而有所以数列的前项和为12分17.（全国卷文19）在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和18.（全国卷理20）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得4分因此，所求通项公式为，6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是12分19.（全国卷文18）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和解：设数列的公差为，则， 3分由成等比数列得，即，整理得， 解得或7分当时，9分当时，于是12分20.（山东卷理19文20）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.解：（）证明：由已知，当时，又，所以，又所以数列是首项为1，公差为的等差数列由上可知，所以当时，因此（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第31行第三列，因此又，所以记表中第行所有项的和为，则21.（陕西卷理22）已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解：解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知， ， 原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一22.（陕西卷文20）已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 23.（上海卷理21）已知以a1为首项的数列an满足：an1当a11，c1，d3时，求数列an的通项公式当0a11，c1，d3时，试用a1表示数列an的前100项的和S100当0a1（m是正整数），c，d3m时，求证：数列a2，a3m+2，a6m+2，a9m+2成等比数列当且仅当d3m【解析】（1）由题意得 3分(2) 当时， ，6分 10分 （3）当时， ， ；， ；， ，综上所述，当时，数列，是公比为的等比数列 13分当时， 15分由于，故数列不是等比数列所以，数列成等比数列当且仅当 18分24.（上海卷文21）已知数列：，（是正整数），与数列：，（是正整数）记（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100求的值，并指出哪4项为100【解】（1） .2分 .4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当 当n=1时，等式成立.6分 假设n=k时等式成立，即那么当时，8分等式也成立.根据和可以断定：当.10分【解】（3）.13分 4m+1是奇数，均为负数， 这些项均不可能取到100. .15分此时，为100. 25.（四川卷理20）设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式【解】：由题意知，且，两式相减得，即 （）当时，由知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考察分类讨论思想；【突破】：推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键。26.（四川卷文21）设数列的前项和为，（）求（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式【解】：（）因为，所以由知 得 所以 （）由题设和式知 所以是首项为2，公比为2的等比数列。（）【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等；【突破】：推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时应重视首项是否可以被吸收是易错点，同时注意利用题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节为求解下一问指明方向。27.（天津卷理22）在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；（）设.证明.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分14分（）解：由题设有，解得由题设又有，解得（）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证，当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：（1当时，等式成立（2）假设时等式成立，即，由题设，的两边分别减去的两边，整理得，从而这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立综上所述，等式对任何的都成立再用数学归纳法证明，（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立解法二：由题设的两边分别减去的两边，整理得，所以，将以上各式左右两端分别相乘，得，由（）并化简得，止式对也成立由题设有，所以，即，令，则，即由得，所以，即，解法：由题设有，所以，将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，由（），上式对也成立所以，上式对时也成立以下同解法二，可得，（）证明：当，时，注意到，故当，时，当，时，当，时，所以从而时，有总之，当时有，即28.（天津卷文20）已知数列中，且（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12分（）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解法：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（）解：由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项29.（浙江卷理22）已知数列，记求证：当时，（）；（）；（）。本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分14分（）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立（）证明：由，（），得因为，所以由及得，所以（）证明：由，得所以，于是，故当时，又因为，所以30.（浙江卷文18）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：（）的值；（）数列的前项的和的公式。本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分14分。（）解：由p=1,q=1()解：31.（重庆卷理22）设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式.解：()因 由此有，故猜想的通项为 （）令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立，有 下用反证法证明： 由得 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 又由知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 由-得 对n求和得 由题设知 即不等式22k+1对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x2,结合式知x2=,因此a2=2*2=将x2=代入式得Sn=2(nN*),所以bn=2Sn=22(nN*)32.（重庆卷文22）设各项均为正数的数列an满足. （）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;（）若对n2恒成立，求a2的值.【解析】本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。【答案】（I）因 由此有，故猜想的通项为 从而()令xn=log2an.则，故只需