青海省西宁市高二数学下学期期中试题 理（含解析）.doc

2016-2017学年青海省西宁高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上）1复数的虚部是（）a2b2c2id2i2已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）a在（3，1）内f（x）是增函数b在（1，3）内f（x）是减函数c在（4，5）内f（x）是增函数d在x=2时，f（x）取得极小值3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）aa，b，c都是奇数ba，b，c都是偶数ca，b，c中至少有两个偶数da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数4的展开式的常数项是（）a3b2c2d35某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）a42b96c48d1246已知函数f（x）=xsinx，记m=f（），n=f（），则下列关系正确的是（）am0nb0nmc0mndnm07某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）aacb accacd2a8如图，正方形的四个顶点为o（0，0）、a（1，0）、b（1，1）、c（0，1），曲线y=x2经过点b，现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）abcd9若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是 （）a1a2ba2或a1ca2或a1da1或a210已知关于x的方程x22（a3）x+9b2=0，其中a，b都可以从集合1，2，3，4，5，6中任意选取，则已知方程两根异号的概率为（）abcd11设函数f（x）=（12x）10，则导函数f（x）的展开式x2项的系数为（）a1440b1440c2880d288012设函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）af（x）g（x）bf（x）g（x）cf（x）+g（a）g（x）+f（a）df（x）+g（b）g（x）+f（b）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分请规范作答）13i是虚数单位，若复数z=（m21）+（m1）i为纯虚数，则实数m的值为 14计算：（+）2dx15随机变量的分布列为p（=k）=，k=1，2，3，4，其中c为常数，则p（2）等于 16设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 三、解答题（本题共6大题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分：审题要慢，答题要快；言之有理，论证有据，详略得当，工整规范）17已知函数f（x）=ax3+3x+2（ar）的一个极值点是1（） 求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，3上的最大值和最小值18从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？19在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中各项的系数和20已知a1=，且sn=n2an（nn*）（1）求a2，a3，a4；（2）猜测an的通项公式，并用数学归纳法证明之21甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分（）求随机变量的分布列和数学期望；（）用a表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用b表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求p（ab）22已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调递增区间；（）证明：当x1时，f（x）x1（）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）2016-2017学年青海省西宁五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上）1复数的虚部是（）a2b2c2id2i【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数z，写出它的虚部即可【解答】解：复数=12i，z的虚部是2故选：a2已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）a在（3，1）内f（x）是增函数b在（1，3）内f（x）是减函数c在（4，5）内f（x）是增函数d在x=2时，f（x）取得极小值【考点】6d：利用导数研究函数的极值【分析】由图象根据导数的正负来判断函数的增减性【解答】解：在（3，），（2，4）上，f（x）0，f（x）是减函数，在（，2），（4，5）上，f（x）0，f（x）是增函数，x=2时，取到极大值；故选：c3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）aa，b，c都是奇数ba，b，c都是偶数ca，b，c中至少有两个偶数da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】fc：反证法【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数即可得出【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数故选：d4的展开式的常数项是（）a3b2c2d3【考点】db：二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开即可得出【解答】解： =（x2+x2）+，展开式的常数项=2=3故选：d5某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）a42b96c48d124【考点】d4：排列及排列数公式【分析】方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；方法二：7个节目的全排列为a77，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：【解答】解：方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；故不同插法的种数为a61a22+a62=42，故选：a方法二：7个节目的全排列为a77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为，故选：a6已知函数f（x）=xsinx，记m=f（），n=f（），则下列关系正确的是（）am0nb0nmc0mndnm0【考点】h5：正弦函数的单调性；3n：奇偶性与单调性的综合【分析】根据条件，判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论【解答】解：f（x）=xsinx，f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），即函数f（x）是偶函数，m=f（）=f（）当0时，函数y=x，单调递增，y=sinx单调递增，且此时f（x）0，此时f（x）=xsinx在0上单调递增，f（）f（）0，即f（）f（）0，0nm，故选：b7某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）aacb accacd2a【考点】d3：计数原理的应用【分析】首先将4名学生均分成两组，选择完成以后要除以2，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题首先将4名学生均分成两组方法数为c42，再分配给6个班级中的2个分配方法数为a62，根据分步计数原理合要求的安排方法数为a62c42，故选：b8如图，正方形的四个顶点为o（0，0）、a（1，0）、b（1，1）、c（0，1），曲线y=x2经过点b，现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）abcd【考点】cf：几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与正方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解【解答】解：由已知易得：s正方形=1s阴影=01（x2）dx=故质点落在图中阴影区域的概率p=故选b9若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是 （）a1a2ba2或a1ca2或a1da1或a2【考点】6d：利用导数研究函数的极值【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函数f（x）=3x2+6ax+3（a+2），因为函数有极大值和极小值，所以方程f（x）=0有两个不相等的实数根，即x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根，0，（2a）241（a+2）0，解得：a1或a2故选：b10已知关于x的方程x22（a3）x+9b2=0，其中a，b都可以从集合1，2，3，4，5，6中任意选取，则已知方程两根异号的概率为（）abcd【考点】cb：古典概型及其概率计算公式【分析】关于x的方程x22（a3）x+9b2=0的两根异号，即0，9b20，求出满足条件的（a，b）的数量，所有的（a，b）共有66个，二者的比值即是x22（a3）x+9b2=0的两根异号的概率【解答】解：x22（a3）x+9b2=0的两根异号，0，9b20，4（a3）24（9b2）0，9b20，b3或b3（舍去）b=4，5，6所有的（a，b）共有66=36个，而满足b3的（a，b）共有63，共有18个，所以关于x的方程x22（a3）x+9b2=0的两根异号的概率是： =故选：b11设函数f（x）=（12x）10，则导函数f（x）的展开式x2项的系数为（）a1440b1440c2880d2880【考点】da：二项式定理；63：导数的运算【分析】先求出导函数f（x）=20（12x）9，它的展开式的通项公式为tr+1=20（2x）r令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得函数f（x）的展开式x2项的系数【解答】解：函数f（x）=（12x）10，则导函数f（x）=20（12x）9，它的展开式的通项公式为tr+1=20（2x）r令r=2 可得函数f（x）的展开式x2项的系数为204=2880，故选c12设函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）af（x）g（x）bf（x）g（x）cf（x）+g（a）g（x）+f（a）df（x）+g（b）g（x）+f（b）【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数f（x）=f（x）g（x），研究f（x）在给定的区间a，b上的单调性，f（x）在给定的区间a，b上是增函数从而f（x）f（a），整理后得到答案【解答】解：设f（x）=f（x）g（x），在a，b上f（x）g（x），f（x）=f（x）g（x）0，f（x）在给定的区间a，b上是减函数当xa时，f（x）f（a），即f（x）g（x）f（a）g（a）即f（x）+g（a）g（x）+f（a）故选c二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分请规范作答）13i是虚数单位，若复数z=（m21）+（m1）i为纯虚数，则实数m的值为1【考点】a2：复数的基本概念【分析】根据纯虚数的定义可得m21=0，m10，由此解得实数m的值【解答】解：复数z=（m21）+（m1）i为纯虚数，m21=0，m10，解得m=1，故答案为114计算：（+）2dx【考点】67：定积分【分析】（+）2dx化简为（x+2）dx，再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（+）2dx=（x+2）dx=（+lnx+2x）|=（+ln3+6）（2+ln2+4）=ln15随机变量的分布列为p（=k）=，k=1，2，3，4，其中c为常数，则p（2）等于【考点】cg：离散型随机变量及其分布列【分析】由随机变量的分布列求出c=，由此能求出p（2）=1p（=1）的值【解答】解：随机变量的分布列为p（=k）=，k=1，2，3，4，其中c为常数，=1，解得c=，p（2）=1p（=1）=1=故答案为：16设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为2【考点】le：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设正三棱柱的底面边长为x，高为h，根据体积为2，用x表示h，求出表面积s关于x的函数式，利用均值不等式求函数的最小值，并求取得最小值时的条件，可得答案【解答】解：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，体积为2，x2h=2，h=，棱柱的表面积s=2x2+3xh=x2+=x2+6，当x3=8时，即x=2时，取“=”故答案为：2三、解答题（本题共6大题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分：审题要慢，答题要快；言之有理，论证有据，详略得当，工整规范）17已知函数f（x）=ax3+3x+2（ar）的一个极值点是1（） 求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，3上的最大值和最小值【考点】6e：利用导数求闭区间上函数的最值；6b：利用导数研究函数的单调性；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（i）由于函数f（x）=ax3+3x+2（ar）的一个极值点是1可得f（1）=0，即可得到a再利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得出切线方程（ii）利用导数研究函数的单调性极值，再计算出区间端点的函数值即可比较出最值【解答】解：（）f（x）=ax3+3x+2，f（x）=3ax2+3函数f（x）的一个极值点是1，f（1）=3a+3=0解得：a=1经检验，a=1满足题意f（x）=x3+3x+2，f（2）=0，f（2）=9曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程是y=9（x2），即9x+y18=0（）由（）知：f（x）=3x2+3令f（x）=0，得 x1=1，x2=1当x在2，3上变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表x2（2，1）1（1，1）1（1，3）3f（x）0+0f（x）40416函数f（x）在2，3上的最大值为4，最小值为1618从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【考点】d8：排列、组合的实际应用【分析】分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有a33种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有a33种情况，4个奇数也排在一起有a44种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；由的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有c54a44种情况，再将3个偶数分别插入5个空档，有c43a53种情况，进而由乘法原理，计算可得答案【解答】解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有c43种情况；第二步在5个奇数中取4个，可c54有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有a77种情况，所以符合题意的七位数有c43c54a77=100800个；上述七位数中，将3个偶数排在一起，有a33种情况，故三个偶数排在一起的有c43c54a55a33=14400种情况；上述七位数中，3个偶数排在一起有a33种情况，4个奇数也排在一起有a44种情况，共有c43c54a33a44a22=5760个上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有c54a44c43a53=28800个19在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中各项的系数和【考点】dc：二项式定理的应用；db：二项式系数的性质【分析】由前三项系数成等差数列建立方程求出n，（1）由二项展开式的项的公式，令x的指数为0即可求出常数项；（2）根据n=8得到展开式有9项，二项式系数最大的为正中间那一项，即求出第五项即可；（3）可令二项式中的变量为1，计算可得二项式各项的系数和；【解答】解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为cn0， cn1， cn2；cn0+cn2=2cn1n29n+8=0解得n=8（1）通项公式为 tr+1=c8r（）rx，令 =0，得r=4所以展开式中的常数项为 t5=c84（）4=（2）n=8二项式系数最大的为 t5=c84（）4=；（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为 （1）8=（）820已知a1=，且sn=n2an（nn*）（1）求a2，a3，a4；（2）猜测an的通项公式，并用数学归纳法证明之【考点】8b：数列的应用；rg：数学归纳法【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有ak=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可【解答】解：sn=n2an，an+1=sn+1sn=（n+1）2an+1n2an（1）a2=，a3=，a4=（2）猜测an=；下面用数学归纳法证当n=1时，结论显然成立假设当n=k时结论成立，即ak=则当n=k+1时，故当n=k+1时结论也成立由、可知，对于任意的nn*，都有an=21甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分（）求随机变量的分布列和数学期望；（）用a表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用b表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求p（ab）【考点】cg：离散型随机变量及其分布列；c5：互斥事件的概率加法公式【分析】（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，（2）ab为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得乙得”和“甲得乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可【解答】解：（）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且，所以的分布列为 0 1 2 3 p 的数学期望为解法二：根据题设可知，因此的分布列为，k=0，1，2，3因为，所以（）解法一：用c表示“甲