2019版高考数学大复习函数导数及其应用第15讲导数与函数的极值优选学案.docx

第15讲导数与函数的极值、最值考纲要求考情分析命题趋势了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2017北京卷，202017江苏卷，202016全国卷，212016天津卷，20利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.分值：58分1函数的极值(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_都小_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_f(x)0_，则点xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_f(x)0_，右侧_f(x)0，f(0)0，f(4)0，最小值为0.故选A4若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(D)A2B3C4D5解析f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.5设函数f(x)xex，则(D)Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点一利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例1】 已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x0)可知当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上所述，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa 处取得极小值aaln a，无极大值【例2】 设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，求a的取值范围解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1.故a的取值范围为(1，)二利用导数研究函数的最值求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的基本步骤(1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，f(xn)(2)计算函数f(x)在区间a，b上的两个端点值f(a)，f(b)(3)对所有的极值和端点值作大小比较(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在a，b上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在a，b上的最小值【例3】 设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选D2函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_1_.解析f(x)(xm)22x(xm)(xm)(3xm)f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，f(1)0，即(1m)(3m)0，解得m1或m3.当m1时，f(x)(x1)(3x1)当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值，即m1符合题意当m3时，f(x)(x3)(3x3)3(x1)(x3)当x0；当1x3时，f(x)0，f(x)在x1处取得极大值，不符合题意，即m3.综上，m1.3已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的单调区间和极值解析(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axba)2x4.由已知，得即解得(2)由(1)知f(x)4ex(x1)x24x，f(x)ex(4x8)2x44(x2).令f(x)0，得x2或xln 2.令f(x)0，得或解得2x0，得或解得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调增区间为(，2)和(ln 2，)，单调减区间为(2，ln 2)，极大值为f(2)4(1e2)，极小值为f(ln 2)22ln 2(ln 2)2.4已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解析(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4，所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示.x3(3，2)21f(x)00f(x)8单调递增13单调递减单调递增4所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.错因分析：对参数的分类讨论不完全【例1】 已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.由f(x)0，得0x2.故函数f(x)的单调递增区间为和(2，)(2)f(x)，a0.由f(x)0，得x或x.当x时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)20，且f0.当1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8a4，即a0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，a1，f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)1，即b1，即实数b的取值范围为.课时达标第15讲解密考纲本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值或者已知最值求参数等问题高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大一、选择题1若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为(D)ABCD解析若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有两个不同的根，故(4c)2120，从而c或c0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，在(1,0上，f(x)0，则当x2,0时函数有最大值，为f(1)2.当a0时，若x0，显然eax1，此时函数在2,2上的最大值为2，符合题意；当a0时，若函数在2,2上的最大值为2，则e2a2，得0f(2)f(2)，m3，最小值为f(2)37.故选A6若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(A)A2bBbC0Db2b3解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3b0，得x2.由f(x)0，得bx0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值11(2018福建南安诗山中学月考)已知函数f(x)ax22ax2a(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值1.(1)求a的值；(2)若g(x)f(x)mx在2,4上单调，求实数m的取值范围解析方法一(1)因为函数的图象是抛物线，a0，所以开口向下，对称轴是直线x1，所以函数f(x)在2,3上单调递减，所以当x2时，f(x)maxf(2)2a1，所以a1.(2)因为a1，所以f(x)x22x1，所以g(x)f(x)mxx2(2m)x1，g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x，因为g(x)在2,4上单调，所以2或4，从而m6或m2.所以m的取值范围是(，62，)方法二(1)因为f(x)2ax2a2a(x1)(a1时，f(x)0)上的最小值解析(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e