学案11 导数及其运算.ppt

学案11导数及其运算 1 导数的几何意义是高考考查的重点内容 常以选择题 填空题的形式出现 有时也出现在解答题中 2 导数的运算每年必考 一般不单独考查 在考查导数应用的同时考查导数的运算 1 导数的概念若函数y f x 在x0处的增量 y与自变量的增量 x的比值 当 x 0时的极限lim 存在 则称f x 在x0处可导 并称此极限值为函数f x 在x0处的导数 记为或 x 0 y x x f x0 0 2 导函数如果函数y f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在区间 a b 内可导 其导数也是开区间 a b 内的函数 又称作f x 的导函数 记作或 3 函数f x 在x0处的导数函数f x 的导函数f x 在x x0处的函数值即为函数f x 在x0处的导数 4 导数的几何意义 1 设函数f x 在x0处可导 则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M x0 y0 处的 2 设s s t 是位移函数 则s t0 表示物体在t t0时刻的 f x y f x0 切线的斜率 瞬时速度 3 设v v t 是速度函数 则v t0 表示物体在t t0时刻的 5 常用的导数公式C C为常数 xm m Q sinx cosx ex ax lnx logax 6 导数的运算法则 f x g x f x g x Cf x Cf x C为常数 加速度 0 mxm 1 cosx sinx ex axlna logae f x g x f x g x f x g x 7 复合函数求导的运算法则一般地 设函数u x 在点x处有导数ux x 函数y f u 在u处有导数yu f u 则复合函数y f x 在点x处也有导数 且yx f u x yu ux 考点1导数的定义 用定义法求下列函数的导数 1 y x2 2 y 分析 先求 再求其 x 0时的极限 解析 1 2x x y lim lim 2x x 2x 2 y 4 lim lim 4 x 0 x 0 x 0 x 0 评析 利用导数定义求函数的导数应分三步 求函数增量 y 求平均变化率 求极限lim x 0 用定义求函数y f x 在x 1处的导数 解析 y f 1 x f 1 考点2求简单函数的导数 1 f x ax3 3x2 2 若f 1 4 则a 2 已知f x x2 g x x3 若f x g x 2 则x 3 函数y xcosx sinx的导数为 分析 应用导数公式和导数的运算法则求解 解析 1 f x 3ax2 6x f 1 3a 6 4 a 2 f x 2x g x 3x2 f x g x 2x 3x2 2 整理得3x2 2x 2 0 x 3 y xcosx sinx x cosx x cosx cosx cosx xsinx cosx xsinx 评析 熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则 并进行简单的求导数运算 注意运算中公式使用的合理性及准确性 求下列函数的导数 1 y 2 y 3 y xex 4 y tanx 解析 1 y 2 y 3 y x ex x ex ex xex ex x 1 4 y 求下列函数的导数 1 y sin 2x 2 y e2x sinxcosx 分析 形如f ax b 型函数的导数 可用复合函数的求导法则 考点3求复合函数的导数 解析 评析 对复合函数进行求导时 中间变量的选择应是函数的基本结构 即通过中间变量的选择 把复合函数分解成若干个基本初等函数的形式 再按由外到内的顺序逐层求导 求下列函数的导数 1 y 2 y sin2 2x 1 设u 1 3x y u 4 则y x y u u x 4u 5 3 2 设y u2 u sinv v 2x 则y x y u u v v x 2u cosv 2 4sin 2x cos 2x 2sin 4x 设函数f x g x x2 曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为y 2x 1 则曲线y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 A 4B C 2D 分析 利用导数的几何意义解题 解析 由条件知g 1 2 又 f x g x x2 g x 2x f 1 g 1 2 2 2 4 故应选A 考点4导数的几何意义 评析 曲线在某点处切线的斜率即为该点处的导数 在平面直角坐标系xOy中 点P在曲线C y x3 10 x 3上 且在第二象限内 已知曲线C在点P处的切线斜率为2 则点P的坐标为 由y x3 10 x 3 得y 3x2 10 由曲线C在点P处的切线的斜率为2 y 3x2 10 2 即x2 4 又点P在第二象限 x 2 又点P在曲线C上 y 8 20 3 15 则点P的坐标为 2 15 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值 并求此定值 考点5综合应用 分析 由导数的几何意义求出a b 则解析式可求 由三角形面积公式 求切点横坐标 解析 评析 过某点 与 在某点处 的切线是不同的 过某点的切线 此点并不一定是切点 在某点处的切线才表明此点是切点 解析 1 2010年高考课标全国卷 曲线y x3 2x 1在点 1 0 处的切线方程为 A y x 1B y x 1C y 2x 2D y 2x 22 2010年高考辽宁卷 已知点P在曲线y 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 A B C D 解析 1 A 由题可知 点 1 0 在曲线y x3 2x 1上 求导可得y 3x2 2 所以在点 1 0 处的切线的斜率k 1 切线过点 1 0 根据直线的点斜式可得过点 1 0 的曲线y x3 2x 1的切线方程为y x 1 故应选A 求导数时 先化简再求导是运算的基本方法 一般地 分式函数求导 要先观察函数的结构特征 可先化为整式函数或较简单的分式函数 对数函数求导先化为和 差形式 三角函数求导 先应用三角公式转化为和或差的形式 求形如f ax b 型复合函数的导数 一般要利用求导法则求导 将问题转化为基本函数的导数解决 具体地 1 要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成