高中数学第二章函数2_2_3待定系数法课件新人教b版必修11

2 2 3待定系数法 第二章 2 2一次函数和二次函数 学习目标1 了解待定系数法的概念 会用待定系数法求一元一次函数 一元二次函数及反比例函数解析式 2 掌握待定系数法的特征 会用待定系数法求解综合问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点待定系数法 若一个正比例函数y kx k 0 过点 2 3 如何求这个函数解析式 答案 答案 函数y kx过点 2 3 思考2 在思考1中 求解析式的方法有什么特点 答案 答案先设出 给出 函数解析式的一般形式 再根据已知条件确定解析式中待确定的系数 1 待定系数法定义一般地 在求一个函数时 如果知道 先把所求函数写为 其中系数待定 然后再根据求出这些待定系数 这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法 梳理 这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2 几种基本初等函数的解析式 1 正比例函数的一般形式是 2 一次函数的一般形式是 3 反比例函数的一般形式是 4 二次函数有三种常见形式 求解析式时 要根据具体情况 设出适当的形式 一般式 这是二次函数的标准形式 顶点式 其中是抛物线的顶点 知两根可设为y a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2是方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实根 即抛物线与x轴两交点的横坐标 y kx k 0 k是常数 y kx b k 0 k b是常数 y k 0 k是常数 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 h k 题型探究 命题角度1待定系数法求一次函数解析式例1已知f x 是一次函数 且有2f 2 3f 1 5 2f 0 f 1 1 求这个函数的解析式 解答 类型一待定系数法求解析式 解设所求的一次函数是f x kx b k 0 其中k b待定 解此方程组 得k 3 b 2 因此所求的函数是y 3x 2 在函数关系式中有几个独立的系数 需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式 反思与感悟 跟踪训练1已知函数f x 是一次函数 且有f f x 9x 8 求此一次函数的解析式 解答 解设该一次函数是y ax b 由题意得f f x a ax b b a2x ab b 9x 8 所以一次函数为f x 3x 2或f x 3x 4 命题角度2待定系数法求二次函数解析式例2二次函数的顶点坐标是 2 3 且经过点 3 1 求这个二次函数的解析式 解答 解设二次函数为y ax2 bx c a 0 又二次函数过点 3 1 1 9a 3b c 联立方程 解方程组 得 a 2 b 8 c 5 二次函数解析式为y 2x2 8x 5 方法二设二次函数顶点式方程为y a x 2 2 3 二次函数图象过点 3 1 1 a 1 3 a 2 y 2 x 2 2 3 即y 2x2 8x 5 引申探究若二次函数f x 满足f 2 f 4 0 且过点 0 6 求这个二次函数的最值 解答 解设二次函数的两根式为y a x 2 x 4 6 a 2 4 二次函数常见的表达式有三种 一般式 顶点式 两根式 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果 1 一般地 若已知函数经过三点 常设函数的一般式 2 若题目中出现顶点坐标 最大值 对称轴等信息时 我们可考虑函数的顶点式 3 若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2 bx c 0的两根 可设函数的两根式 反思与感悟 跟踪训练2求下列二次函数的解析式 1 已知y f x 是二次函数 且图象过点 2 20 1 2 3 0 解答 解设y ax2 bx c a 0 y x2 5x 6 2 已知二次函数的顶点为 1 2 且图象经过点 2 25 解答 解设y a x 1 2 2 25 a 32 2 a 3 y 3x2 6x 1 3 已知二次函数与x轴交点为 2 0 3 0 且函数图象经过点 1 8 解答 解设y a x 2 x 3 a 1 4 8 a 2 y 2x2 2x 12 例3如图 函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成 求函数的解析式 并求该函数的值域 类型二待定系数法的综合应用 解答 解设左侧的射线对应的解析式为y kx b k 0 x 1 解得k 1 b 2 所以左侧射线对应的函数的解析式为y x 2 x3 当1 x 3时 抛物线对应的函数为二次函数 设其方程为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 由点 1 1 在抛物线上可知a 2 1 所以a 1 所以抛物线对应的函数解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为 由图象可知函数的最小值为1 无最大值 所以 值域为 1 由函数图象求函数的解析式 关键观察函数图象的形状 分析图象由哪几种函数组成 然后根据不同区间上的函数类型 利用待定系数法求出相应解析式 反思与感悟 1 f x 的解析式 解答 解 f x 为奇函数 f x f x c 0 4x1x2 1 f x2 f x1 0 即f x1 f x2 证明 当堂训练 1 已知一个正比例函数的图象过点 2 8 则这个函数的解析式为A y 4xB y 4xC y D y 答案 2 3 4 5 1 解析 解析设y kx 则8 2k k 4 y 4x 2 已知一个一次函数的图象过点 1 3 3 4 则这个函数的解析式为 答案 2 3 4 5 1 解析 3 已知二次函数y x2 bx c的图象经过 1 0 2 5 两点 则二次函数的解析式为A y x2 2x 3B y x2 2x 3C y x2 2x 3D y x2 2x 6 答案 2 3 4 5 1 解析 由 解得b 2 c 3 4 二次函数的图象过原点 且顶点为 1 2 那么二次函数的解析式为 答案 2 3 4 5 1 解析 解析设y a x 1 2 2 y a x 1 2 2过原点 0 a 2 a 2 y 2x2 4x y 2x2 4x 5 如图是二次函数y f x 的图象 若x 2 1 则函数f x 的值域为 答案 解析 解析依题意设函数f x a x 3 x 1 又函数f x 的图象过点 0 3 代入得a 1 f x x2 2x 3 结合题中图形易知函数f x 在 2 1 上的最大值为f 1 4 又f 2 3 f 1 0 函数f x 在 2 1 上的最小值为0 当x 2 1 时 函数的值域为 0 4 2 3 4 5 1 0 4 规律与方法 1 求待定系数的方法 列