高中数学第一章常用逻辑用语3_3全称命题与特称命题的否定课件北师大版选修2_1

第一章 3全称量词与存在量词 3 3全称命题与特称命题的否定 学习目标1 理解全称命题与特称命题的否定的意义 2 会对全称命题与特称命题进行否定 3 掌握全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一全称命题的否定 尝试写出下面全称命题的否定 并归纳写全称命题否定的方法 1 所有矩形都是平行四边形 将量词 所有 换为 存在一个 然后将结论否定 即 不是平行四边形 所以原命题的否定为 存在一个矩形不是平行四边形 用同样的方法可得 2 3 的否定 答案 2 每一个素数都是奇数 解答 存在一个素数不是奇数 3 任意x R x2 2x 1 0 解答 存在x R x2 2x 1 0 思考 梳理 写全称命题的否定的方法 1 更换量词 将全称量词换为存在量词 2 将结论否定 全称命题的否定是命题 特称 知识点二特称命题的否定 思考 尝试写出下面特称命题的否定 并归纳写特称命题否定的方法 1 有些实数的绝对值是正数 先将存在量词 有些 改写为全称量词 所有 然后将结论 实数的绝对值是正数 否定 即 实数的绝对值不是正数 于是得原命题的否定为 所有实数的绝对值都不是正数 同理可得 2 3 的否定 答案 2 某些平行四边形是菱形 解答 所有平行四边形都不是菱形 3 存在x R x2 1 0 解答 任意x R x2 1 0 思考 梳理 写特称命题的否定的方法 1 将存在量词改写为全称量词 2 将结论否定 特称命题的否定是命题 全称 题型探究 类型一全称命题的否定 例1写出下列全称命题的否定 1 任何一个平行四边形的对边都平行 解答 其否定 存在一个平行四边形 它的对边不都平行 2 数列 1 2 3 4 5中的每一项都是偶数 解答 其否定 数列 1 2 3 4 5中至少有一项不是偶数 3 任意a b R 方程ax b都有唯一解 解答 其否定 存在a b R 使方程ax b的解不唯一或不存在 4 可以被5整除的整数 末位是0 解答 其否定 存在被5整除的整数 末位不是0 全称命题的否定是特称命题 对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定 反思与感悟 跟踪训练1写出下列全称命题的否定 1 p 每一个四边形的四个顶点共圆 解答 其否定 存在一个四边形 它的四个顶点不共圆 2 p 所有自然数的平方都是正数 解答 其否定 有些自然数的平方不是正数 3 p 任何实数x都是方程5x 12 0的根 解答 其否定 存在实数x不是方程5x 12 0的根 4 p 对任意实数x x2 1 0 解答 其否定 存在实数x 使得x2 1 0 类型二特称命题的否定 例2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 p 存在x 1 使x2 2x 3 0 解答 其否定 任意x 1 x2 2x 3 0 假 2 p 有些素数是奇数 解答 其否定 所有的素数都不是奇数 假 3 p 有些平行四边形不是矩形 解答 其否定 所有的平行四边形都是矩形 假 特称命题的否定是全称命题 写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词 反思与感悟 跟踪训练2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 有些实数的绝对值是正数 解答 命题的否定是 不存在一个实数 它的绝对值是正数 即 所有实数的绝对值都不是正数 为假命题 2 某些平行四边形是菱形 解答 命题的否定是 没有一个平行四边形是菱形 即 每一个平行四边形都不是菱形 由于菱形是平行四边形 因此命题的否定是假命题 3 存在x y Z 使得x y 3 解答 命题的否定是 任意x y Z x y 3 当x 0 y 3时 x y 3 因此命题的否定是假命题 类型三特称命题 全称命题的综合应用 例3已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 并说明理由 解答 不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x R恒成立 只需m 4即可 故存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 此时 只需m 4 2 若存在一个实数x 使不等式m f x 0成立 求实数m的取值范围 解答 不等式m f x 0可化为m f x 若存在一个实数x 使不等式m f x 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所求实数m的取值范围是 4 对于涉及是否存在的问题 通常总是假设存在 然后推出矛盾 或找出存在符合条件的元素 一般地 对任意的实数x a f x 恒成立 只要a f x max 若存在一个实数x 使a f x 成立 只需a f x min 反思与感悟 跟踪训练3已知f x 3ax2 6x 1 a R 1 当a 3时 求证 对任意x R 都有f x 0 当a 3时 f x 9x2 6x 1 36 4 9 1 0 对任意x R 都有f x 0 证明 2 如果对任意x R 不等式f x 4x恒成立 求实数a的取值范围 f x 4x恒成立 3ax2 2x 1 0恒成立 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1 已知a 0且a 1 命题 存在x 1 logax 0 的否定是A 存在x 1 logax 0B 存在x 1 logax 0C 任意x 1 logax 0D 任意x 1 logax 0 a 0且a 1 命题 存在x 1 logax 0 的否定是 任意x 1 logax 0 答案 解析 2 3 4 5 1 2 设x Z 集合A是奇数集 集合B是偶数集 若命题p 任意x A 2x B 则命题p的否定是A 任意x A 2x BB 任意x A 2x BC 存在x A 2x BD 存在x A 2x B 命题p 任意x A 2x B是一个全称命题 其命题的否定应为存在x A 2x B 故选D 答案 解析 2 3 4 5 1 3 命题 对任意一个实数x 都有 0 的否定是 答案 解析 存在一个实数x 使得2x 4 0 2 3 4 5 1 4 由命题 存在x R x2 2x m 0 是假命题 得实数m的取值范围是 a 则实数a 由题意得命题 任意x R x2 2x m 0 是真命题 所以 4 4m1 故实数m的取值范围是 1 从而实数a的值为1 答案 解析 1 2 3 4 5 1 5 已知函数f x x2 mx 1 命题p 对任意x R 都有f x 0 命题q 存在x R 使x2 m2 9 若命题p的否定与q均为真命题 求实数m的取值范围 由于命题p 对任意x R 都有f x 0 所以命题p的否定为 不等式f x 0在实数集上有解 故 m2 4 0 得m 2或m 2 又命题q 存在x R 使x2 m20 所以 3 m 3 因为命题p的否定与q均为真命题 所以m的取值范围为 3 2 2 3 解答 规律与方法 1 对含有全称量词的命题进行否定需两步操作 第一步 将全称量词改写成存在量词 即将 任意 改为 存在 第二步 将结论加以否定 如 将 否定为 2 对含有存在量词的命题进行否定需