高中数学 第三章 不等式 3_1 基本不等式课件 北师大版必修5

3 1基本不等式 第三章不等式 1 理解基本不等式的内容及证明 2 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 3 能初步运用基本不等式证明简单的不等式 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一算术平均数与几何平均数 如图 AB是圆O的直径 点Q是AB上任一点 AQ a BQ b 过点Q作PQ垂直AB于Q 连接AP PB 如何用a b表示PO PQ的长度 答案 梳理 如果a b都是非负数 那么 当且仅当a b时 等号成立 其中称为a b的平均数 称为a b的平均数 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数 算术 几何 知识点二基本不等式及其常见推论 思考 答案 梳理 题型探究 类型一常见推论的证明 例1证明不等式a2 b2 2ab a b R 证明 a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab 引申探究 证明 由例1 得a2 b2 2ab 2 a2 b2 a2 b2 2ab 反思与感悟 1 本例证明的不等式成立的条件是a b R 与基本不等式不同 2 本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 当且仅当a b c时 等号成立 跟踪训练1已知a b c为任意的实数 求证 a2 b2 c2 ab bc ca 证明 类型二用基本不等式证明不等式 例2已知x y都是正数 证明 当且仅当x y时 等号成立 2 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 解答 即 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 当且仅当x y时 等号成立 反思与感悟 在 1 的证明中把 分别看作基本不等式中的a b从而能够应用基本不等式 在 2 中三次利用了基本不等式 由于每次应用不等式时等号成立的条件相同 所以最终能取到等号 跟踪训练2已知a b c都是正实数 求证 a b b c c a 8abc 证明 即 a b b c c a 8abc 当且仅当a b c时 等号成立 类型三用基本不等式比大小 例3某工厂生产某种产品 第一年产量为A 第二年的增长率为a 第三年的增长率为b 这两年的平均增长率为x a b x均大于零 则 答案 解析 第二年的产量为A A a A 1 a 第三年产量为A 1 a A 1 a b A 1 a 1 b 若平均增长率为x 则第三年产量为A 1 x 2 依题意有A 1 x 2 A 1 a 1 b a 0 b 0 x 0 反思与感悟 基本不等式一端为和 一端为积 使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和 跟踪训练3设a b 1 P Q R 则P Q R的大小关系是A R P QB P Q RC Q P RD P R Q 答案 解析 a b 1 lga lgb 0 即Q P 即R Q 综合 有P Q R 当堂训练 a 0 b 0 1 已知a 0 b 0 则的最小值是A 2B C 4D 5 答案 解析 1 2 3 4 2 若0 a b 则下列不等式一定成立的是 1 2 3 4 答案 解析 3 设a b是实数 且a b 3 则2a 2b的最小值是 1 2 3 4 a b 3 答案 解析 1 2 3 4 4 设a 0 b 0 给出下列不等式 答案 解析 1 2 3 4 故 恒成立 当a 3时 a2 9 6a 故 不恒成立 综上 恒成立的是 1 2 3