高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数(二)课件 北师大版必修4

3二倍角的三角函数 二 第三章三角恒等变形 学习目标1 能用二倍角公式导出半角公式 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法 2 了解三角恒等变换的特点 变换技巧 掌握三角恒等变换的基本思想方法 3 能利用三角恒等变换对三角函数式化简 求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一半角公式 我们知道倍角公式中 倍角是相对的 那么对余弦的二倍角公式 若用2 替换 结果怎样 答案 思考1 思考2 答案 思考3 利用tan 和倍角公式又能得到tan与sin cos 有怎样的关系 答案 正弦 余弦 正切的半角公式 梳理 知识点二辅助角公式 思考1 asinx bcosx化简的步骤有哪些 答案 2 定角度 确定一个角 满足 思考2 在上述化简过程中 如何确定 所在的象限 答案 答案 所在的象限由a和b的符号确定 辅助角公式 梳理 题型探究 类型一应用半角公式求值 解答 1 若没有给出角的范围 则根号前的正负号需要根据条件讨论 2 由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤 先化简所求的式子 观察已知条件与所求式子之间的联系 从角和三角函数名称入手 反思与感悟 解答 类型二三角恒等式的证明 证明 左边 右边 原式得证 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异 有目的地化繁为简 左右归一或变更论证 对恒等式的证明 应遵循化繁为简的原则 从左边推到右边或从右边推到左边 也可以用左右归一 变更论证等方法 常用定义法 化弦法 化切法 拆项拆角法 1 的代换法 公式变形法 要熟练掌握基本公式 善于从中选择巧妙简捷的方法 反思与感悟 证明 原等式成立 类型三利用辅助角公式研究函数性质 解答 1 求函数f x 的最小正周期 解答 2 求使函数f x 取得最大值的x的集合 1 为了研究函数的性质 往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 余弦型 函数 这是解决问题的前提 2 解此类题时要充分运用两角和 差 二倍角公式 辅助角转换公式消除差异 减少角的种类和函数式的项数 为讨论函数性质提供保障 反思与感悟 解答 1 求函数f x 的最小正周期 解答 2 求函数h x f x g x 的最大值 并求使h x 取得最大值时x的集合 类型四三角函数在实际问题中的应用 解答 例4如图 ABCD是一块边长为100m的正方形地皮 其中AST是半径为90m的扇形小山 其余部分都是平地 一开发商想在平地上建一个矩形停车场 使矩形的一个顶点P在ST上 相邻两边CQ CR正好落在正方形的边BC CD上 求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值 解如图 连接AP 设 PAB 0 90 延长RP交AB于M 则AM 90cos MP 90sin 所以PQ MB 100 90cos PR MR MP 100 90sin 所以S矩形PQCR PQ PR 100 90cos 100 90sin 10000 9000 sin cos 8100sin cos 此类问题关键在于构建函数模型 首先要选准角 有利于表示所需线段 其次要确定角的范围 反思与感悟 解答 跟踪训练4某工人要从一块圆心角为45 的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面 若扇形的半径长为1m 求割出的长方形桌面的最大面积 如图 解连接OC 设 COB 则0 45 OC 1 AB OB OA cos AD cos sin S矩形ABCD AB BC cos sin sin sin2 sin cos 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 4 函数f x sinx cosx x 的最小值为 1 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 2 辅助角公式asinx bcosx sin x 其中 满足 与点 a b 同象限 tan 或sin cos 规律与方法 1 学习三角恒等变换 千万不要只顾死记硬背公式 而忽视对思想方法的理解 要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式 立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 3 研究形如f x asinx bcosx的函数性质