1.5全概率公式与贝叶斯公式.ppt

一盒子装有5只产品 其中3只一等品 2只二等品 从中取产品两次 每次任取一只 作不放回抽样 设事件A1为 第一次取到一等品 事件A2为 第二次取到一等品 求概率P A2 如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和 例 S 1 5全概率公式与贝叶斯公式 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 例 A2 A1 A3 B 1 5全概率公式与贝叶斯公式 样本空间的分划 设为样本空间 若事件满足 两两不相容 即 想法 将的计算分解到 上计算然后求和 通常要求 1 5全概率公式与贝叶斯公式 于是 设为样本空间的一个分划 即 对任何事件有 全概率公式 1 5全概率公式与贝叶斯公式 说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 1 5全概率公式与贝叶斯公式 某一事件A的发生有各种可能的原因 如果A是由原因Bi i 1 2 n 所引起 则A发生的概率是 每一原因都可能导致A发生 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和 即全概率公式 P ABi P Bi P A Bi 全概率公式 我们还可以从另一个角度去理解 1 5全概率公式与贝叶斯公式 一盒子装有5只产品 其中3只一等品 2只二等品 从中取产品两次 每次任取一只 作不放回抽样 设事件A1为 第一次取到一等品 事件A2为 第二次取到一等品 求概率P A2 例 利用全概率公式求事件B的概率 其实质就是我们熟悉的分情况讨论 情况记为A1 A2 An 就是这里定义的完备事件组 1 5全概率公式与贝叶斯公式 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 例 1 5全概率公式与贝叶斯公式 袋中有a只红球b只白球 先从袋中任取一球 记下颜色后放回 同时向袋中放入同颜色的球1只 然后再从袋中取出一球 求第二次取到白球的概率 解 例 记第次取到白球 第次取到红球 第次取到白球 则是的一个分划 由全概率公式有 第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等 与前面放入什么颜色的球无关 如果加入c个同色球有什么结果 1 5全概率公式与贝叶斯公式 解 设Ai 任取的一箱为第i箱零件 i 1 2 3 Bj 第j次取到的是一等品 j 1 2 1 5全概率公式与贝叶斯公式 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白 例 1 5全概率公式与贝叶斯公式 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 1 5全概率公式与贝叶斯公式 设为样本空间的一个分划 且 则由乘法公式有 由全概率公式有 Bayes公式 1 5全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件B 发生的最可能原因 1 5全概率公式与贝叶斯公式 由全概率公式有 解 例 记取到次品 取到的产品是车间生产的 由Bayes公式有 可见该次品是第二车间生产的可能性较大 Bayes推断 某工厂的一 二 三车间都生产同一产品 产量分别占总产量的三个车间的次品率分别为现从汇总起来的产品中任取一个 经检查是次品 问它是哪个车间生产的可能性较大 1 5全概率公式与贝叶斯公式 Bayes方法广泛应用于网络 分类 诊断 估计 检验 判别 推理等方面 若试验产生事件 则要探讨事件发生的 原因 后验概率可以通过Bayes公式进行计算 后验概率反映了试验后对各种 原因 发生的可能性大小的推断 先验概率反映了各种 原因 发生的可能性大小 在试验前是知道的 Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率 1 5全概率公式与贝叶斯公式 由Bayes公式 此人真正患有癌症的概率为 解 例 用某种诊断法诊断癌症 记 判断被检验者患有癌症 被检验者患有癌症 已知 现在若有一人被诊断患有癌症 问此人真正患有癌症的可能性有多大 又设人群中 可见 虽然检验法相当可靠 但被诊断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大 END 1 5全概率公式与贝叶斯公式 伊索寓言 孩子与狼 讲的是一个小孩每天到山上放羊 山里有狼出没 第一天 他在山上喊 狼来了 狼来了 山下的村民闻声便去打狼 发现狼没有来 第二天仍是如此 第三天 狼真的来了 可无论小孩怎么喊叫 也没有人来救他 因为前两次他说了谎 人们不再相信他了 现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的 1 5全概率公式与贝叶斯公式 首先记事件A为 小孩说谎 记事件B为 小孩可信 不妨设村民过去对这个小孩的印象为 我们现在用贝叶斯公式来求 亦及这个小孩 说了一次谎后 村民对他的可信程度的改变 在贝叶斯公式中我们要用到 这两个概 率的含义是 前者为 可信 B 的孩子 说谎 A 的可能 性 后者为 不可信 的孩子 说谎 的可能性 设 1 5全概率公式与贝叶斯公式 第一次村民上山打狼 发现狼没有来 即小孩说了谎 A 村民根据这个信息 对小孩的可信程度改变为 用贝叶斯公式 这表明村民上了一次当后 对这个小孩的可信程度由原来的0 8调整为0 444 也就是 1 5全概率公式与贝叶斯公式 在此基础上 我们再用一次贝叶斯公式计算 亦即这个小孩第二次说谎后 村民对他的可信程度改变为 这表明村民们经过两次上当 对这个小孩的可信程度已经从0 8下降到0 138 如此低的可信程度 村民听到第三次呼叫怎么再会上山打狼呢 1 5全概率公式与贝叶斯公式 1 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 乘法定理 1 5全概率公式与贝叶斯公式 在应用全概率公式与贝叶斯公式时 有两个问题需要弄清楚 当事件的发生与相继两个试验有关时 从第一试验入手寻找完