2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步章末复习学案北师大版必修2.docx

第二章 解析几何初步 知识网络构建 高频考点例析考点一直线的方程例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程解解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l的方程为1或1(a0)，当直线l的方程为1时，把P(8,6)代入得1，解得a14，直线l的方程为xy140；当直线l的方程为1时，把P(8,6)代入得1，解得a2，直线l的方程为xy20.综上所述，直线l的方程为xy140或xy20.解法二：设所求直线l的方程为ykxb(k0，b0)，令x0，得yb；令y0，得x.直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，|b|.b0，k1.当k1时，直线l的方程为yxb，把P(8,6)代入得68b，解得b2，直线l的方程为yx2，即xy20；当k1时，直线l的方程为yxb，把P(8,6)代入得68b，解得b14，直线l的方程为yx14，即xy140.综上所述，直线l的方程为xy140或xy20.类题通法常用待定系数法求直线方程求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况将直线的方程x2y60；(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距解(1)将原方程移项得2yx6，两边同除以2，得斜截式yx3，因此它的斜率k，在y轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x2y6，两边同除以6，得截距式1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为6,3.考点二直线的位置关系例2已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或类题通法两条直线位置的判定方法两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值解(1)若l1l2，则a1.a1时，l1l2.(2)当l2的斜率不存在时，a1.则l2：x0，l1：x2y60.显然l1与l2不垂直当l2斜率存在时，a1.则k2，k1.l1l2，k1k21.a.考点三求圆的方程例3有一圆与直线l：4x3y60相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程解解法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|CB|，CAl，得解得a5，b，r2，圆的方程为(x5)22.解法二：设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆心为C，由CAl，A(3,6)、B(5,2)在圆上，得解得所求圆的方程为：x2y210x9y390.解法三：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y6(x3)，即3x4y330.又kAB2，kBP，直线BP的方程为x2y10.解方程组得P(7,3)圆心为AP中心，半径为|AC|.所求圆的方程为(x5)22.类题通法求圆的方程常用的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程已知圆经过点A(2，1)，圆心在直线2xy0上且与直线xy10相切，求圆的方程解解法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，其圆心为.圆过点A(2，1)，52DEF0，又圆心在直线2xy0上，20，即2DE0.将yx1代入圆方程得2x2(DE2)x(1EF)0.(DE2)28(1EF)0.将代入中，得(D2)28(12D5)0，即D220D360，D2或D18.代入，得或故所求圆的方程为x2y22x4y30或x2y218x36y670.解法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)圆心在直线y2x上，b2a，即圆心为(a，2a)又圆与直线xy10相切，且过点(2，1)，r，(2a)2(12a)2r2，即(3a1)22(2a)22(12a)2，解得a1或a9.a1，b2，r或a9，b18，r，故所求圆的方程为：(x1)2(y2)22，或(x9)2(y18)2338.考点四直线与圆、圆与圆的位置关系例4已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点；若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OAOB，设直线l的方程是yxb，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，即x1x2y1y20.由消去y，得2x22(b1)xb24b40.所以x1x2(b1)，x1x2(b24b4)，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2(b24b4)b2bb2(b22b4)，把式代入式，得b23b40，解得b1或b4，且b1或b4都使得4(b1)28(b24b4)0成立故存在直线l满足题意，其方程为yx1或yx4.类题通法开放性题的解题思路解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0.作示意图如图，作MCAB于C.在RtMBC中，|BC|，|MB|2，故|MC|1，由点到直线的距离公式得1，解得k.所以直线l的方程为3x4y60.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且|AB|2，所以适合题意综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2. 思想方法一、数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这是数学的规律性与灵活性的有机结合，解析几何本身就是数与形的完美结合例1直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A|b|B1b1或bC1b1D以上结论均不对解析将曲线x变为x2y21(x0)画出直线yxb与曲线x，如下图当直线yxb与曲线x2y21相切时，满足1，则|b|.观察图像，可得当b或1b1时，直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点答案B二、函数与方程思想解决有关直线与圆的最值或范围问题时，常把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围例2试在坐标平面yOz内的直线2yz10上确定一点P，使P点到点Q(1,0,4)的距离最小解P在yOz平面内，可设点P的坐标为(0，y,2y1)由两点间的距离公式，得|PQ|.显然当y2时，|PQ|取得最小值，这时点P的坐标为(0,2,3)三、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，是历年高考的重点在用二元二次方程表示圆时，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时，都要分类讨论例3过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条平行直线的斜率都不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，满足题意(2)当两条平行直线的斜率都存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意得1，即k1.两条直线的方程分别为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的两条直线方程分别为x1，x0，或xy10，xy20.四、转化与化归思想涉及与圆有关的最值问题，可借助图形的性质，考查所给式子的几何意义，一般地：(1)形如的最值问题，可转化为动直线的斜率问题；(2)形如axby的最值问题，可转化为动直线的截距问题；(3)形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离问题例4如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求：(1)的最大值或最小值；(2)xy的最大值与最小值；(3) 的最大值与最小值解(1)设P(x，y)，则点P的轨迹就是已知圆C：(x3)2(y3)26.而的几何意义就是直线OP的斜率，其中O为坐标原点设k，则直线OP的方程为ykx.画图可知(图略)，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值圆心C到直线ykx的距离为，当，即当k32时，直线OP与圆相切，的最