7.4柯西点列和完备度量空间.doc

教学单元教案格式 课程教案授课题目：第三节 度量空间中的基本概念柯西点列和完备度量空间教学时数：授课类型： 理论课 实践课教学目的、要求：注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。教学重点：教学难点：教学方法和手段：注：是根据教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书等的设计。要能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的积极思考，激发学生的潜能。注：以下内容按实际需要进行取舍教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定其名称和要求。第 页 课程教案教学内容及过程旁批注：是指通过对教学大纲、教材和主要参考资料的研析，确定本教学单元的课程教学知识信息的总和。实践课还应注重其对实践环节的指导性，必要时应包含实践步骤及其说明。教学引入（可选）：教学内容与教学设计：注：此部分详略取决于教师教学经验多少、教学内容的熟悉程度；经验少、内容较生疏的教师此部分应更详细。一 基本概念1 柯西（Cauchy）列设是度量空间 X 中的点列，如果使当时有则称是 X 中的柯西列或基本列。注：柯西列不一定是收敛点列。 收敛点列一定是柯西列。2 完备度量空间度量空间X中的任一柯西列都在X中收敛，则称X为完备度量空间。注：完备度量空间中柯西列与收敛点列等价。二 完备度量空间的例子三 完备度量空间子空间的完备性1 定理：完备度量空间 X 的子空间 M 是完备的 充要条件是 M 是 X 中的闭子空间。注：这一定理的优势是在判断完备度量空间 X 的子空间 M 是否完备不需要验证 M 中的任一 Cauchy 列都在M 中收敛，而只需判断 M 中任意收敛点列的极限是否还在 M 中。2 例子定义命题：C 是完备的。四 不完备度量空间的例子1 Pa,b 不是完备的Pa,b表示闭区间a,b上多项式函数全体定义 注：作为度量空间，Pa,b是Ca,b的子空间，这表明Pa,b 在Ca,b中不是闭的。2 命题：X 在上面定义的度量 d 下是不完备的。一 映射在一点处的连续性1 定义 设是两个度量空间，T是X到Y中的映射，如果，使得当，有则称T在连续。注：邻域 表示2 利用点列收敛判断映射在一点的连续性定理：设T是度量空间到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当 时，必有。注：上述定理类似与数学分析中的归结原则。二 连续映射1 定义 如果映射T在X中的每一点都连续，则称T上X上的连续映射。2 判断记号：集合称为集合M在映射T下的的原像，记为定理：度量空间 X 到 Y 中的映射 T 是 X 上连续映射的充要条件为 Y 中任意开集M的原像是X 中的开集。教学目标： （一） 知识与技能目标： 1 仿照直线上函数连续性的定义，我们引入度量空间中映射连续性的概念。 2 给出度量空间上的映射的连续性的两个等价条件。 （二） 过程与方法目标： 以定理的形式给出度量空间上映射连续的两个充要条件。教材分析： （一） 教学重点：用极限的形式和集合对应关系给出本节的两个重要定理。 （二） 教学难点：连续，连续映射 课 型： 新授课 教学方法： 讲解法 作业布置：注：作业、思考题、讨论题、实验