高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图课件 新人教B版必修2.ppt

1 1 4投影与直观图 1 了解平行投影 中心投影的定义和主要特征 2 会用斜二测画法画出简单平面图形和空间图形的直观图 3 通过观察用两种方法 平行投影与中心投影 画出直观图 了解空间图形的不同表示形式 1 2 3 1 平行投影 1 平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影 叫做平行投影 平行投影的投射线是平行的 如图 1 2 3 2 平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 平行投影具有下述性质 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 平行直线的平行投影是平行或重合的直线 平行于投射面的线段 它的投影与这条线段平行且等长 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 1 2 3 做一做1 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 下列关于平行投影性质的叙述正确的个数是 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 平行直线的投影仍是平行直线 平行于投射面的线段 它的投影与这条线段平行且等长 矩形的平行投影一定是矩形 a 1b 2c 3d 4解析 正确 答案 b 1 2 3 2 直观图 1 定义 当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时 一个空间图形在投射面上的平行投影 平面图形 可以形象地表示这个空间图形 像这样用来表示空间图形的平面图形 叫做空间图形的直观图 2 空间图形的直观图画法 斜二测画法 3 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则是 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与y 轴 两轴交于点o 且使 x o y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 1 2 3 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 4 用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴ox oy 再作oz轴 使 xoz 90 yoz 90 画出与轴ox oy oz对应的轴o x o y o z 使 x o y 45 或135 x o z 90 x o y 所确定的平面表示水平平面 1 2 3 已知图形中 平行于x轴 y轴和z轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴和z 轴的线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 画图完成后 擦除作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 1 2 3 名师点拨1 斜二测画法的作图规则可简述为 竖直或水平方向放置的线段画出时的方向 长度都不变 前后方向放置的线段画出时的方向与水平方向成45 或135 角 长度画成原长度的一半 仍表示原长度 2 直观图是一个平面图形 只是用它来表示空间图形 画图时 被面挡住的部分要画成虚线 3 可从以下两个方面理解斜二测画法 1 斜 与 二测 的含义 斜 是指在已知图形的xoy平面内与x轴垂直的线段 在直观图中均与x 轴成45 可认为是倾斜的 二测 是指两种度量形式 即在直观图中 平行于x 轴和z 轴的线段长度保持不变 平行于y 轴的线段长度变为原来的一半 1 2 3 2 斜二测画法中的建系原则 在已知图形中建立直角坐标系 理论上在任何位置建立坐标系都行 但实际作图时 一般建立特殊的直角坐标系 尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴 图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等 1 2 3 做一做2 1 下列关于 斜二测画法 的说法不正确的是 a 原图形中平行于x轴的线段 其对应线段平行于x 轴 长度不变b 原图形中平行于y轴的线段 其对应线段平行于y 轴 长度变c 画与直角坐标系xoy对应的坐标系x o y 时 x o y 必须是45 d 在画直观图时 由于选轴的不同 所得的直观图可能不同解析 画与直角坐标系xoy对应的坐标系x o y 时 x o y 也可以是135 所以c项不正确 答案 c 1 2 3 做一做2 2 如图 该直观图所表示的平面图形是 a 钝角三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 等边三角形解析 因为在直观图中三角形的两条边平行于坐标轴 所以原来的平面图形是直角三角形 答案 b 1 2 3 3 中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影 如图 在绘画时 经常使用这种方法 但在立体几何中很少用中心投影原理来画图 1 2 3 做一做3 相片放大和电影都是投影 几何画图和工程制图都是投影 答案 中心平行 1 2 3 1 中心投影与平行投影的区别与联系剖析 中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法 但应注意的是 1 画实际效果图时 一般用中心投影法 如人的视觉 照片 美术作品等都具有中心投影的特点 2 中心投影和平行投影的区别在于 平行投影的投射线都互相平行 中心投影的投射线交于同一点 3 中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法 平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图 经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多 但直观性强 看起来与人的视觉效果一致 最像原来的物体 4 画立体几何中的图形时 一般用平行投影法 1 2 3 2 斜二测画法的作图技巧剖析 1 在已知图中建立直角坐标系 理论上是在任何位置建立坐标系都行 但实际作图时 一般建立特殊的直角坐标系 尽量用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等 2 在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x 轴或y 轴平行 原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线 画端点时作坐标轴的平行线为辅助线 原图中的曲线段可以通过取一些关键点 利用上述方法作出直观图中的相应点后 用平滑的曲线连接而画出 1 2 3 3 在画一个水平放置的平面时 由于平面是无限延展的 通常我们只画出它的一部分表示平面 一般地 用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图 归纳总结在斜二测画法中 直观图与原图存在如下关系 1 平行性不变 2 共点性不变 3 平行线段的长度比不变 正因为这样 所以直观图的形状虽然有很大变化 但我们仍能借助于直观图结合几何体的概念 想象出原图的形状和性质 1 2 3 3 教材中的 思考与讨论 如果一个平面图形所在的平面与投射面平行 试问 中心投影后得到的图形与原图形有什么关系 剖析 若一个平面图形所在的平面与投射面平行 则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 如果图形所在的平面不平行于投射线 那么下列说法正确的是 a 矩形的平行投影一定是矩形b 梯形的平行投影一定是梯形c 正方形的平行投影一定是矩形d 正方形的平行投影一定是菱形 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 对于选项a 当矩形所在的平面与投射线垂直时 其平行投影是矩形 当矩形所在的平面与投射线既不垂直也不平行时 其平行投影一般是平行四边形 故a错 对于选项b 由于梯形所在平面与投射线不平行 其平行投影一定是梯形 故b正确 对于选项c和d 当正方形所在平面与投射线垂直时 其平行投影是正方形 当正方形所在平面与投射线既不垂直也不平行时 其平行投影一般为平行四边形 故c和d错误 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 反思平行投影的性质是分析原图形与其投影的关系的理论依据 另外还要注意分析投射线与投射面的位置关系 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 关于平行投影的性质 下列说法中不正确的是 a 当直线或线段不平行于投射线时 它的平行投影仍是直线或线段b 平行直线的平行投影仍是平行的直线c 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等d 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比解析 当投射线与两平行直线在同一个平面上时 平行直线的平行投影成为一条直线 故b不正确 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 画出一个锐角是45 的平行四边形的直观图 分析 画水平放置的平面图形的直观图时 建立坐标系至关重要 应将尽量多的点放在坐标轴上 这样 点在直观图中的位置更容易确定 题型一 题型二 题型三 题型四 解 如图 四边形abcd是以 a为45 的平行四边形 以ab所在的直线为x轴 过点d且与ab垂直的直线为y轴 建立直角坐标系 画出对应的x 轴和y 轴 使 x o y 45 如图 在x 轴上截取轴 且使d c dc 连接a d b c 所得四边形a b c d 即是所给平面图形的直观图 如图 题型一 题型二 题型三 题型四 反思画平面图形的直观图时 首先要在原图中建好坐标系 再依据作图规则逐步作出 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 如图 在 abc中 bc 8cm bc边上的高ad 6cm 试用斜二测画法画出其直观图 解 1 在三角形abc中建立直角坐标系xoy 如图 再建立直角坐标系x o y 如图 使 x o y 45 题型一 题型二 题型三 题型四 2 在坐标系x o y 中 在x 轴上截取o b ob o c oc 在y 轴 3 连接a b c a 得到 a b c 即为 abc的直观图 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 有一个正三棱锥 底面边长为3cm 高为3cm 画出这个正三棱锥的直观图 分析 根据斜二测画法 先选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图 再确定出正三棱锥的顶点即可 解 1 先画出边长为3cm的正三角形水平放置的直观图 如图 2 过正三角形的中心o 建立z 轴 画出正三棱锥的顶点v 使v o 3cm 连接v a v b v c 如图 3 擦去辅助线 被遮住部分用虚线表示 得到正三棱锥的直观图 如图 题型一 题型二 题型三 题型四 反思正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到 应该掌握正棱锥直观图的画法思路 以便在今后的学习中 可以较快 较准确地画出正棱锥的草图 画草图的步骤为 画底面 找底面的中心 作高连线 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 画出底面边长为1 2cm的正方形 侧棱均相等 且高为1 5cm的四棱锥的直观图 解 画法 1 画轴 画x 轴 y 轴 z 轴 使 x o y 45 x o z 90 如图 2 画底面 以o 为中心在x 轴上截取线段ef 使ef 1 2cm 在y 轴上截取线段gh 使gh 0 6cm 分别过e f作y 轴的平行线 过g h作x 轴的平行线 则交点分别为a b c d 即四边形abcd为底面正方形的直观图 3 画高 在z 轴上截取op 使op 1 5cm 4 成图 顺次连接pa pb pc pd 并擦去辅助线 将被遮住的部分改为虚线 得四棱锥的直观图 如图 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 如图 图形a b c d 是一个平面图形的直观图 a 45 请画出它的实际图形 分析 已知直观图是一个锐角为45 的平行四边形 建立直观图的坐标系 建立平面直角坐标系 还原实际图形 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 建立一个直角坐标系 如图 2 在x轴上截取线段ab a b 在y轴上截取线段ad 使ad 2a d 3 过点b作bc ad 过d作dc ab 使bc与dc交于点c 则四边形abcd即为a b c d 的实际图形 题型一 题型二 题型三 题型四 反思还原图形的过程是画直观图的逆过程 它主要包括平行于x 轴的线段长度不变 平行于y 轴的线段长度变为原来的2倍等 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 如图 a b c 是 abc的直观图 图中b o o c c a c a o y 则原图 abc是 a 等边三角形b 等腰非直角三角形c 直角非等腰三角形d 等腰直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 建立平面直角坐标系 在x轴上截取bo co b o 过c作y轴的平行线并在上面截取ac 2oc 连接ab 则得 a b c 的原图 abc 如图所示 因为ac bc 且ac bc 所以 abc是等腰直角三角形 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型四 例5 正三角形aob的边长为a 在用斜二测画法画它的水平放置的直观图时 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思斜二测画法中平面图形的直观图与原图形的面积比一般图面积有关的选择题或填空题会很有帮助 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练5 如图 o a b 是 oab水平放置的直观图 则 oab的面积为 答案 d 1 2 3 4 5 1 下列命题中真命题的个数是 正方形的平行投影一定是菱形 平行四边形的平行投影一定是平行四边形 三角形的平行投影一定是三角形 a 0b 1c 2d 3解析 若平面图形所在平面与投射线平行 则上述三个命题中的平面图形的平行投影都是线段 可知三个命题都不成立 故选a 答案 a 1