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双曲线的标准方程 和 等于常数2a 的点的轨迹是什么 平面内与两定点F1 F2的距离的 椭圆 线段 没有轨迹 差 没有轨迹 一条射线 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B MF2 MF1 2a 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每一条叫做双曲线的一支 定义 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 求曲线方程的步骤 双曲线的标准方程 1 建系 以F1 F2所在的直线为x轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2 设点 设M x y 则F1 c 0 F2 c 0 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 方程形式 位置特征 焦点在x轴上焦点坐标 焦点在y轴上 数量特征 双曲线的标准方程 由方程定焦点 椭圆看大小双曲线看符号 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c 双曲线定义及标准方程 例1 已知F1 5 0 F2 5 0 动点P到F1 F2的距离之差的绝对值为6 求点P的轨迹方程 两条射线 轨迹不存在 1 若 PF1 PF2 6呢 3 若 PF1 PF2 12呢 2 若 PF1 PF2 10呢 注意 没有 绝对值 这个条件时 仅表示双曲线的一支 练1 化简方程 设 点的轨迹为双曲线的上支 又焦点在y轴上 所以 1 已知两圆C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆P与C1内切 与C2外切 求圆心P的轨迹方程 练习2 2 已知两圆C1 x 8 2 y2 25 C2 x 8 2 y2 1 动圆P与其中一圆内切 与另一圆外切 求圆心P的轨迹方程 练3 已知双曲线上一点 到 双曲线的一个焦点的距离为9 则它到另 一个焦点的距离为 3或15 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 3 已知椭圆的方程为 求以此椭圆的顶点为焦点 焦点为顶点的双曲线的标准方程 例3 如果方程表示焦点在y轴的双曲线 求m的取值范围 变式一 方程表示双曲线时 则m的取值范围 思考探究 1 双曲线及其焦点 焦距的定义 双曲线的标准方程以及方程中的a b c之间的关系 小结 2 怎样的双曲线其方程是标准方程 标准方程表示的双曲线的特征 3 焦点位置的确定方法 4 求双曲线标准方程关键 定位 定量 练习 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 过点P 3 Q 5 且焦点在坐标轴上 2 c 经过点 5 2 焦点在x轴上 3 与双曲线有相同焦点 且经过点 3 2 例4 一炮弹在某处爆炸 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s 已知A B两地相距800m 并且此时声速为340m s 问爆炸点应在什么样的曲线上 并求出轨迹方程 以AB所在直线为x轴 AB的中点为原点建立如图的直角坐标系 解 设点P为爆炸点 则 PA PB 340 2 680 800 因此爆炸点P应位于以A B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上 F c 0 F c 0 a 0 b 0 a b大小不确定 c2 a2 b2
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