2018版高中数学_第一章 计数原理 1.4 计数应用题课件 苏教版选修2-3

1 4计数应用题 第1章计数原理 学习目标1 进一步理解和掌握两个计数原理 2 进一步深化理解排列与组合的概念 3 能综合运用排列 组合解决计数问题 题型探究 内容索引 当堂训练 题型探究 命题角度1 类中有步 的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 现由主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 有 种不同的结果 类型一两个计数原理的应用 答案 解析 28800 解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星 决定了后边选幸运伙伴是不同的 故要分两类分别计算 1 幸运之星在甲箱中抽 先确定幸运之星 再在两箱中各确定一名幸运伙伴 有30 29 20 17400 种 结果 2 幸运之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 种 结果 因此共有17400 11400 28800 种 不同结果 用流程图描述计数问题 类中有步的情形如图所示 反思与感悟 具体意义如下 从A到B算作一件事的完成 完成这件事有两类办法 在第1类办法中有3步 在第2类办法中有2步 每步的方法数如图所示 所以 完成这件事的方法数为m1m2m3 m4m5 类 与 步 可进一步地理解为 类 用 号连接 步 用 号连接 类 独立 步 连续 类 标志一件事的完成 步 缺一不可 解析如图所示 将原图从上而下的4个区域标为1 2 3 4 因为1 2 3之间不能同色 1与4可以同色 因此 要分类讨论1 4同色与不同色这两种情况 故不同的着色方法种数为4 3 2 4 3 2 1 48 跟踪训练1现有4种不同颜色 要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有 种 答案 解析 48 命题角度2 步中有类 的计数问题例2有4位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测一人 则不同的安排方式共有 种 用数字作答 答案 解析 264 解析上午总测试方法有4 3 2 1 24 种 我们以A B C D E依次代表五个测试项目 若上午测试E的同学下午测试D 则上午测试A的同学下午只能测试B C 确定上午测试A的同学后其余两位同学上 下午的测试方法共有2种 若上午测试E的同学下午测试A B C之一 则上午测试A B C中任何一个的同学下午都可以测试D 安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了 故共有3 3 9 种 测试方法 即下午的测试方法共有11种 根据分步计数原理 总的测试方法共有24 11 264 种 用流程图描述计数问题 步中有类的情形如图所示 反思与感悟 从计数的角度看 由A到D算作完成一件事 可简单地记为A D 完成A D这件事 需要经历三步 即A B B C C D 其中B C这步又分为三类 这就是步中有类 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相应步的方法数 完成A D这件事的方法数为m1 m2 m3 m4 m5 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练2如图所示 使电路接通 开关不同的开闭方式共有 种 答案 解析 21 解析根据题意 设5个开关依次为1 2 3 4 5 如图所示 若电路接通 则开关1 2与3 4 5中至少有1个接通 对于开关1 2 共有2 2 4 种 情况 其中全部断开的有1 种 情况 则其至少有1个接通的有4 1 3 种 情况 对于开关3 4 5 共有2 2 2 8 种 情况 其中全部断开的有1 种 情况 则其至少有1个接通的有8 1 7 种 情况 则电路接通的情况有3 7 21 种 例33个女生和5个男生排成一排 1 如果女生必须全排在一起 有多少种不同的排法 解 捆绑法 因为3个女生必须排在一起 所以可先把她们看成一个整体 这样同5个男生合在一起共有6个元素 排成一排有种不同排法 对于其中的每一种排法 3个女生之间又有种不同的排法 因此共有 4320 种 不同的排法 类型二有限制条件的排列问题 解答 2 如果女生必须全分开 有多少种不同的排法 解 插空法 要保证女生全分开 可先把5个男生排好 每两个相邻的男生之间留出一个空 这样共有4个空 加上两边两个男生外侧的两个位置 共有6个位置 再把3个女生插入这6个位置中 只要保证每个位置至多插入一个女生 就能保证任意两个女生都不相邻 由于5个男生排成一排有种不同的排法 对于其中任意一种排法 从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有种方法 因此共有 14400 种 不同的排法 解答 3 如果两端都不能排女生 有多少种不同的排法 解答 解方法一 特殊位置优先法 因为两端不能排女生 所以两端只能挑选5个男生中的2个 有种不同排法 对于其中的任意一种排法 其余六位都有种排法 所以共有 14400 种 不同的排法 方法二 间接法 3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次 在扣除女生排在末位时又被扣去一次 所以还需加一次 由于两端都是女生有种不同的排法 所以共有14400 种 不同的排法 方法三 特殊元素优先法 从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入 有种不同的排法 对于其中的任意一种排法 其余5个位置又都有种不同的排法 所以共有 14400 种 不同的排法 4 如果两端不能都排女生 有多少种不同的排法 解方法一因为只要求两端不能都排女生 所以如果首位排了男生 则末位就不再受条件限制了 这样可有种不同的排法 如果首位排女生 有种排法 这时末位就只能排男生 这样可有种不同的排法 因此共有 36000 种 不同的排法 方法二3个女生和5个男生排成一排有种排法 从中扣去两端都是女生的排法有种 就能得到两端不都是女生的排法种数 因此共有 36000 种 不同的排法 解答 5 如果甲必须排在乙的右面 可以不相邻 有多少种不同的排法 解 顺序固定问题 因为8人排队 其中两人顺序固定 解答 1 排列问题的限制条件一般表现为 某些元素不能在某个位置 某个位置只能放某些元素等 要先处理特殊元素或先处理特殊位置 再去排其他元素 当用直接法比较麻烦时 可以用间接法 先不考虑限制条件 把所有的排列数算出 再从中减去全部不符合条件的排列数 这种方法也称为 去杂法 但必须注意要不重复 不遗漏 去尽 2 对于某些特殊问题 可采取相对固定的特殊方法 如相邻问题 可用 捆绑法 即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列 再进行内部排列 不相邻问题 则用 插空法 即先排其他元素 再将不相邻元素排入形成的空位中 反思与感悟 跟踪训练3用0到9这10个数字 1 可以组成多少个没有重复数字的四位数 在这些四位数中 奇数有多少个 解答 解0到9这10个数字构成的三位数共有900个 分为三类 第1类 三位数字全相同 如111 222 999 共9个 第2类 三位数字全不同 共有9 9 8 648 个 第3类 由间接法可求出 只含有2个相同数字的三位数 共有900 9 648 243 个 2 可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数 解答 命题角度1不同元素的排列 组合问题例4有4张分别标有数字1 2 3 4的红色卡片和4张分别标有数字1 2 3 4的蓝色卡片 从这8张卡片中取出4张卡片排成一行 如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 则不同的排法共有多少种 类型三排列与组合的综合应用 解答 解分三类 1 解排列 组合综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 解排列 组合综合问题时要注意以下几点 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 对于有多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 这是处理排列 组合综合问题的一般方法 反思与感悟 跟踪训练4从1 3 5 7 9中任取3个数字 从0 2 4 6 8中任取2个数字 一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数 解答 解 1 五位数中不含数字0 2 五位数中含有数字0 第2步 排顺序又可分为两小类 所以符合条件的偶数个数为 命题角度2含有相同元素的排列 组合问题例5将10个优秀名额分配到一班 二班 三班3个班级中 若各班名额数不小于班级序号数 则共有 种不同的分配方案 解析先拿3个优秀名额分配给二班1个 三班2个 这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中 每个班级中至少分配到1个 利用 隔板法 可知 共有 15 种 不同的分配方案 答案 解析 15 凡 相同小球放入不同盒中 的问题 即为 n个相同元素有序分成m组 每组的任务不同 的问题 一般可用 隔板法 求解 1 当每组至少含一个元素时 其不同分组方式有N 种 即将n个元素中间的n 1个空格中加入m 1个 隔板 2 任意分组 可出现某些组含元素为0个的情况 其不同分组方式有N 种 即将n个相同元素与m 1个相同 隔板 进行排序 在n m 1个位置中选m 1个安排 隔板 反思与感悟 跟踪训练5用2 3 4 5 6 7六个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 解析用间接法 六个数字能构成的三位数共6 6 6 216 个 而无重复数字的三位数共有 6 5 4 120 个 故所求的三位数的个数为216 120 96 答案 解析 96 当堂训练 1 李芳有4件不同颜色的衬衣 3件不同花样的裙子 另有两套不同样式的连衣裙 五一 节需选择一套服装参加歌舞演出 则李芳有 种不同的选择方式 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意可得 李芳不同的选择方式为4 3 2 14 14 2 包括甲 乙在内的7个人站成一排 其中甲在乙的左侧 可以不相邻 有 种站法 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因为甲 乙定序了 所以有 2520 种 2520 3 从0 2 4中取一个数字 从1 3 5中取两个数字 组成无重复数字的三位数 则所有不同的三位数的个数是 答案 2 3 4 5 1 解析 48 解析第一类 从2 4中任取一个数 有种取法 同时从1 3 5中取两个数字 有种取法 再把三个数全排列 有种排法 故有 36 种 取法 第二类 从0 2 4中取出0 有种取法 从1 3 5三个数字中取出两个数字 有种取法 然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位 有种排法 剩下的两个数字全排列 有种排法 共有 12 种 方法 共有36 12 48 种 排法 2 3 4 5 1 4 某电视台连续播放5个广告 其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告 要求最后播放的必须是公益宣传广告 且2个公益宣传广告不能连续播放 则不同的播放方式有 种 答案 2 3 4 5 1 解析 解析先安排后2个 再安排前3个 由分步计数原理知 共有 36 种 不同的播放方式 36 2 3 4 5 1 5 已知xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 则满足x1 x2 x3 x4 x5 x6 2的数组 x1 x2 x3 x4 x5 x6 的个数为 答案 解析 解析根据题意 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 xi中有