高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题课件文新人教版

高考专题突破四高考中的立体几何问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 正三棱柱ABC A1B1C1中 D为BC中点 E为A1C1中点 则DE与平面A1B1BA的位置关系为A 相交B 平行C 垂直相交D 不确定 答案 解析 如图取B1C1中点为F 连接EF DF DE 则EF A1B1 DF B1B 平面EFD 平面A1B1BA DE 平面A1B1BA 2 设x y z是空间不同的直线或平面 对下列四种情形 x y z均为直线 x y是直线 z是平面 z是直线 x y是平面 x y z均为平面 其中使 x z且y z x y 为真命题的是A B C D 由正方体模型可知 为假命题 由线面垂直的性质定理可知 为真命题 答案 解析 3 2016 成都模拟 如图是一个几何体的三视图 侧视图中的弧线是半圆 则该几何体的表面积是A 20 3 B 24 3 C 20 4 D 24 4 答案 解析 根据几何体的三视图可知 该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体 其中正方体的棱长为2 半圆柱的底面半径为1 母线长为2 故该几何体的表面积为4 5 2 2 20 3 4 如图 在四棱锥V ABCD中 底面ABCD为正方形 E F分别为侧棱VC VB上的点 且满足VC 3EC AF 平面BDE 则 答案 解析 2 连接AC交BD于点O 连接EO 取VE的中点M 连接AM MF VC 3EC VM ME EC 又AO CO AM EO 又EO 平面BDE AM 平面BDE 又AF 平面BDE AM AF A 平面AMF 平面BDE 又MF 平面AMF MF 平面BDE 又MF 平面VBC 平面VBC 平面BDE BE 5 如图 在三棱锥P ABC中 D E F分别为棱PC AC AB的中点 若PA AC PA 6 BC 8 DF 5 则直线PA与平面DEF的位置关系是 平面BDE与平面ABC的位置关系是 填 平行 或 垂直 答案 解析 平行 垂直 因为D E分别为棱PC AC的中点 所以DE PA 又因为PA 平面DEF DE 平面DEF 所以直线PA 平面DEF 因为D E F分别为棱PC AC AB的中点 PA 6 BC 8 所以DE PA DE PA 3 EF BC 4 又因为DF 5 故DF2 DE2 EF2 所以 DEF 90 即DE EF 又PA AC DE PA 所以DE AC 因为AC EF E AC 平面ABC EF 平面ABC 所以DE 平面ABC 又DE 平面BDE 所以平面BDE 平面ABC 题型分类深度剖析 例1 2016 全国甲卷 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 证明 AC HD 题型一求空间几何体的表面积与体积 证明 由已知得AC BD AD CD 故AC EF 由此得EF HD 折后EF与HD保持垂直关系 即EF HD 所以AC HD 解答 所以OH 1 D H DH 3 故OD OH 由 1 知AC HD 又AC BD BD HD H 所以AC 平面DHD 于是AC OD 又由OD OH AC OH O 所以OD 平面ABC 1 若所给定的几何体是柱体 锥体或台体等规则几何体 则可直接利用公式进行求解 其中 等积转换法多用来求三棱锥的体积 2 若所给定的几何体是不规则几何体 则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体 再利用公式求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 思维升华 跟踪训练1正三棱锥的高为1 底面边长为2 内有一个球与它的四个面都相切 如图 求 1 这个正三棱锥的表面积 解答 2 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 解答 设正三棱锥P ABC的内切球球心为O 连接OP OA OB OC 而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r VP ABC VO PAB VO PBC VO PAC VO ABC 题型二空间点 线 面的位置关系 例2 2016 济南模拟 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 证明 在三棱柱ABC A1B1C1中 BB1 底面ABC 因为AB 平面ABC 所以BB1 AB 又因为AB BC BC BB1 B 所以AB 平面B1BCC1 又AB 平面ABE 所以平面ABE 平面B1BCC1 证明 2 求证 C1F 平面ABE 方法一如图1 取AB中点G 连接EG FG 因为E F分别是A1C1 BC的中点 所以FG AC 且FG AC 因为AC A1C1 且AC A1C1 所以FG EC1 且FG EC1 所以四边形FGEC1为平行四边形 所以C1F EG 又因为EG 平面ABE C1F 平面ABE 所以C1F 平面ABE 方法二如图2 取AC的中点H 连接C1H FH 因为H F分别是AC BC的中点 所以HF AB 又因为E H分别是A1C1 AC的中点 所以EC1綊AH 所以四边形EAHC1为平行四边形 所以C1H AE 又C1H HF H AE AB A 所以平面ABE 平面C1HF 又C1F 平面C1HF 所以C1F 平面ABE 解答 3 求三棱锥E ABC的体积 因为AA1 AC 2 BC 1 AB BC 所以三棱锥E ABC的体积 1 证明面面垂直 将 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 再将 线面垂直 问题转化为 线线垂直 问题 证明C1F 平面ABE 利用判定定理 关键是在平面ABE中找 作 出直线EG 且满足C1F EG 利用面面平行的性质定理证明线面平行 则先要确定一个平面C1HF满足面面平行 实施线面平行与面面平行的转化 2 计算几何体的体积时 能直接用公式时 关键是确定几何体的高 不能直接用公式时 注意进行体积的转化 思维升华 跟踪训练2如图 在三棱锥S ABC中 平面SAB 平面SBC AB BC AS AB 过A作AF SB 垂足为F 点E G分别是棱SA SC的中点 求证 1 平面EFG 平面ABC 证明 由AS AB AF SB知F为SB中点 则EF AB FG BC 又EF FG F AB BC B 因此平面EFG 平面ABC 2 BC SA 证明 由平面SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC SB AF 平面SAB AF SB 所以AF 平面SBC 则AF BC 又BC AB AF AB A 则BC 平面SAB 又SA 平面SAB 因此BC SA 题型三平面图形的翻折问题 例3 2015 陕西 如图1 在直角梯形ABCD中 AD BC BAD AB BC AD a E是AD的中点 O是AC与BE的交点 将 ABE沿BE折起到图2中 A1BE的位置 得到四棱锥A1 BCDE 1 证明 CD 平面A1OC 证明 在题图1中 连接EC 因为AB BC AD a BAD AD BC E为AD中点 所以BC綊ED BC綊AE 所以四边形BCDE为平行四边形 故有CD BE 所以四边形ABCE为正方形 所以BE AC 即在题图2中 BE A1O BE OC 且A1O OC O 从而BE 平面A1OC 又CD BE 所以CD 平面A1OC 2 当平面A1BE 平面BCDE时 四棱锥A1 BCDE的体积为36 求a的值 解答 由已知 平面A1BE 平面BCDE 且平面A1BE 平面BCDE BE 又由 1 知 A1O BE 所以A1O 平面BCDE 即A1O是四棱锥A1 BCDE的高 平行四边形BCDE的面积S BC AB a2 平面图形的翻折问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地 翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 思维升华 跟踪训练3 2017 深圳月考 如图 1 四边形ABCD为矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如图 2 折叠 折痕EF DC 其中点E F分别在线段PD PC上 沿EF折叠后 点P叠在线段AD上的点记为M 并且MF CF 1 证明 CF 平面MDF 证明 几何画板展示 因为PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因为ABCD是矩形 CD AD PD与CD交于点D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 解答 2 求三棱锥M CDE的体积 因为PD DC PC 2 CD 1 PCD 60 如图 过点F作FG CD交CD于点G 题型四立体几何中的存在性问题 例4 2016 四川双流中学月考 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 平面BMD1N与棱CC1 AA1分别交于点M N 且M N均为中点 1 求证 AC 平面BMD1N 证明 连接MN 因为M N分别为CC1 AA1的中点 又因为AA1 CC1 且AA1 CC1 所以AN CM 且AN CM 所以四边形ACMN为平行四边形 所以AC MN 因为MN 平面BMD1N AC 平面BMD1N 所以AC 平面BMD1N 2 若AD CD 2 DD1 2 O为AC的中点 BD1上是否存在动点F 使得OF 平面BMD1N 若存在 求出点F的位置 并加以证明 若不存在 请说明理由 解答 当点F满足D1F 3BF时 OF 平面BMD1N 证明如下 连接BD 则BD经过点O 取BD1的中点G 连接OF DG 又D1F 3BF 所以OF为三角形BDG的中位线 所以OF DG 因为BD 2 DD1 且G为BD1的中点 所以BD1 DG 所以BD1 OF 因为底面ABCD为正方形 所以AC BD 又DD1 底面ABCD 所以AC DD1 又BD DD1 D 所以AC 平面BDD1 又OF 平面BDD1 所以AC OF 由 1 知AC MN 所以MN OF 又MN BD1是平面四边形BMD1N的对角线 所以它们必相交 所以OF 平面BMD1N 对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在 然后在该假设条件下 利用线面关系的相关定理 性质进行推理论证 寻找假设满足的条件 若满足则肯定假设 若得出矛盾的结论则否定假设 思维升华 跟踪训练4如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知DC DD1 2AD 2AB AD DC AB DC 1 求证 D1C AC1 证明 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 连接C1D DC DD1 四边形DCC1D1是正方形 DC1 D1C 又AD DC AD DD1 DC DD1 D AD 平面DCC1D1 又D1C 平面DCC1D1 AD D1C AD 平面ADC1 DC1 平面ADC1 且AD DC1 D D1C 平面ADC1 又AC1 平面ADC1 D1C AC1 2 问在棱CD上是否存在点E 使D1E 平面A1BD 若存在 确定点E位置 若不存在 说明理由 解答 假设存在点E 使D1E 平面A1BD 连接AD1 AE D1E 设AD1 A1D M BD AE N 连接MN 平面AD1E 平面A1BD MN 要使D1E 平面A1BD 可使MN D1E 又M是AD1的中点 则N是AE的中点 又易知 ABN EDN AB DE 即E是DC的中点 综上所述 当E是DC的中点时 可使D1E 平面A1BD 课时作业 1 2016 北京顺义区一模 如图所示 已知平面 平面 l A B是直线l上的两点 C D是平面 内的两点 且AD l CB l DA 4 AB 6 CB 8 P是平面 上的一动点 且有 APD BPC 则四棱锥P ABCD体积的最大值是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意知 PAD PBC是直角三角形 又 APD BPC 所以 PAD PBC 因为DA 4 CB 8 所以PB 2PA 作PM AB于点M 由题意知 PM 令AM t 0 t 6 则PA2 t2 4PA2 6 t 2 所以PA2 12 4t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2016 江西赣中南五校第一次联考 已知m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题中正确的是A 若 则 B 若m n m n 则 C 若m n m n 则 D 若m n m 则n 答案 解析 对于A 若 则 或相交 对于B 若m n m n 则 或相交 对于D 若m n m 则n 或n 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2016 唐山模拟 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 连接BD AC1 B1D1 CD1 B1C 现有以下几个结论 BD 平面CB1D1 AC1 平面CB1D1 CB1与BD为异面直线 其中所有正确结论的序号为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意可知 BD B1D1 又B1D1 平面CB1D1 BD 平面CB1D1 所以BD 平面CB1D1 正确 易知AC1 B1D1 AC1 B1C 又B1D1 B1C B1 所以AC1 平面CB1D1 正确 由异面直线的定义可知 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 如图梯形ABCD中 AD BC ABC 90 AD BC AB 2 3 4 E F分别是AB CD的中点 将四边形ADFE沿直线EF进行翻折 给出四个结论 DF BC BD FC 平面DBF 平面BFC 平面DCF 平面BFC 在翻折过程中 可能成立的结论是 填写结论序号 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为BC AD AD与DF相交不垂直 所以BC与DF不垂直 则 错误 设点D在平面BCF上的射影为点P 当BP CF时就有BD FC 而AD BC AB 2 3 4 可使条件满足 所以 正确 当点P落在BF上时 DP 平面BDF 从而平面BDF 平面BCF 所以 正确 因为点D的投影不可能在FC上 所以平面DCF 平面BFC不成立 即 错误 故答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E是棱BC的中点 点F是棱CD上的动点 当 时 D1E 平面AB1F 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图 连接A1B 则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影 AB1 A1B D1E AB1 又 D1E 平面AB1F D1E AF 连接DE 则DE是D1E在底面ABCD内的射影 D1E AF DE AF ABCD是正方形 E是BC的中点 当且仅当F是CD的中点时 DE AF 即当点F是CD的中点时 D1E 平面AB1F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2016 咸阳模拟 如图 梯形ABEF中 AF BE AB AF 且AB BC AD DF 2CE 2 沿DC将梯形CDFE折起 使得平面CDFE 平面ABCD 1 证明 AC 平面BEF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 如图 取BF的中点M 设AC与BD交点为O 连接MO ME 1 2 3 4 5 6 7 8 9 EM CO 即EM AC 又AC 平面BEF EM 平面BEF AC 平面BEF 解答 2 求三棱锥D BEF的体积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 平面CDFE 平面ABCD 平面CDFE 平面ABCD DC BC DC BC 平面DEF 7 2016 山东牟平一中期末 如图 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AC B1D BB1 底面ABCD E F H分别为AD CD DD1的中点 EF与BD交于点G 1 证明 平面ACD1 平面BB1D BB1 平面ABCD AC 平面ABCD AC BB1 又AC B1D BB1 B1D B1 AC 平面BB1D AC 平面ACD1 平面ACD1 平面BB1D 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 证明 GH 平面ACD1 证明 设AC BD O 连接OD1 E F分别为AD CD的中点 EF OD G G为OD的中点 H为DD1的中点 HG OD1 GH 平面ACD1 OD1 平面ACD1 GH 平面ACD1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2016 北京东城区一模 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 点O是对角线AC与BD的交点 AB 2 BAD 60 M是PD的中点 1 求证 OM 平面PAB 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为在 PBD中 O M分别是BD PD的中点 所以OM PB 又OM 平面PAB PB 平面PAB 所以OM 平面PAB 2