2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A=i,i2,i3,i4(i是虚数单位),B=1,-1,则AB等于() A.-1B.1C.1,-1D.2.下列函数为奇函数的是()A.y=x B.y=|sin x|C.y=cos xD.y=ex-e-x3.若双曲线E:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.34.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y-bx.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5.若变量x,y满足约束条件x+2y0,x-y0,x-2y+20,则z=2x-y的最小值等于()A.-52B.-2C.-32D.26.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A.2B.1C.0D.-17.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.99.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13B.15C.19D.2110.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f (x)满足f (x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-1第卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)12.若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.13.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.14.若函数f(x)=-x+6,x2,3+logax,x2(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.15.一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x7=0,其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率;()设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.()求证:GF平面ADE;()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.(本小题满分13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,2),且离心率e=22.()求椭圆E的方程;()设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.()求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;()已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(-)=2m25-1.20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx(kR).()证明:当x0时, f(x)x;()证明:当k0,使得对任意的x(0,x0),恒有f(x)g(x);()确定k的所有可能取值,使得存在t0,对任意的x(0,t),恒有|f(x)-g(x)|0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.()求a+b+c的值;()求14a2+19b2+c2的最小值.答案一、选择题1.CA=i,-1,-i,1,B=1,-1,所以AB=1,-1,故选C.2.Dy=x的定义域为0,+),所以y=x为非奇非偶函数;y=|sin x|与y=cos x为偶函数;令y=f(x)=ex-e-x,xR,则满足f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D.3.B|PF1|=35,退出循环,输出的结果为0,故选C.7.B因为lm,m,所以l或l.故充分性不成立.反之,l,m,一定有lm.故必要性成立.选B.8.D由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.a,b,-2适当排序后成等比数列,-2是a,b的等比中项,得ab=4,q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,a=1,此时b=4,p=a+b=5,p+q=9,选D.9.A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B1t,0(t0),C(0,t),P(1,4),PBPC=1t-1,-4(-1,t-4)=17-4t+1t17-22=13当且仅当t=12时,取“=”,故PBPC的最大值为13,故选A.10.C构造函数g(x)=f(x)-kx+1,则g(x)=f (x)-k0,g(x)在R上为增函数.k1,1k-10,则g1k-1g(0).而g(0)=f(0)+1=0,g1k-1=f1k-1-kk-1+10,即f1k-1kk-1-1=1k-1,所以选项C错误,故选C.二、填空题11.答案80解析Tr+1=C5rx5-r2r(r=0,1,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为C5323=80.12.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsin A=103得sin A=32,因为A为锐角,所以A=60,cos A=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-24012=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.13.答案512解析由题图可知阴影部分的面积S阴影=S矩形ABCD-12 x2dx=14-x3312=4-83-13=53,则所求事件的概率P=S阴影S矩形ABCD=534=512.14.答案(1,2解析当x2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x)=3+logax在(2,+)上为减函数, f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上为增函数,f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),则3+loga24,即loga21,1a2.15.答案5解析设a,b,c,d0,1,在规定运算法则下满足:abcd=0,可分为下列三类情形:4个1:1111=0,2个1:1100=0,0个1:0000=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得:由x4x5x6x7=0,11010;由x2x3x6x7=0,1001=0;由x1x3x5x7=0,10110,错码可能出现在x5,x7上,若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x7=0,此时x2x3x6x70,故k7.综上分析,x5为错码,故k=5.评析本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题.三、解答题16.解析()设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=564534=12.()依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56451=23,所以X的分布列为X123P161623所以E(X)=116+216+323=52.评析本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.17.解析解法一:()证明:如图,取AE的中点H,连结HG,HD,又G是BE的中点,所以GHAB,且GH=12AB.又F是CD的中点,所以DF=12CD.由四边形ABCD是矩形得,ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.()如图,在平面BEC内,过B点作BQEC.因为BECE,所以BQBE.又因为AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B为原点,分别以BE,BQ,BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB平面BEC,所以BA=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1),由nAE=0,nAF=0,得2x-2z=0,2x+2y-z=0,取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos=nBA|n|BA|=432=23,所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23. 解法二:()证明:如图,取AB中点M,连结MG,MF.又G是BE的中点,可知GMAE.又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点得MFAD.又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因为GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF,所以GF平面ADE.()同解法一.评析本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.18.解析解法一:()由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.所以椭圆E的方程为x24+y22=1.()设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以|GH|AB|2.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.解法二:()同解法一.()设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2, 从而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以cos0.又GA,GB不共线,所以AGB为锐角.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.评析本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.19.解析解法一:()将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移2个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+2(kZ).()(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意知,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).(ii)证明:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.解法二:()同解法一.()(i)同解法一.(ii)证明:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即+=-(+);当-5m1时,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.评析本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想.20.解析解法一:()证明:令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x0,+),则有F(x)=11+x-1=-xx+1.当x(0,+)时,F(x)0时,F(x)0时, f(x)0,故G(x)在0,+)单调递增,G(x)G(0)=0,故任意正实数x0均满足题意.当0k0,取x0=1k-1,对任意x(0,x0),有G(x)0,从而G(x)在0,x0)单调递增,所以G(x)G(0)=0,即f(x)g(x).综上,当k0,使得对任意x(0,x0),恒有f(x)g(x).()当k1时,由()知,x(0,+),g(x)xf(x),故g(x)f(x),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x).令M(x)=kx-ln(1+x)-x2,x0,+),则有M(x)=k-11+x-2x=-2x2+(k-2)x+k-1x+1.故当x0,k-2+(k-2)2+8(k-1)4时,M(x)0,M(x)在0,k-2+(k-2)2+8(k-1)4上单调递增,故M(x)M(0)=0,即|f(x)-g(x)|x2.所以满足题意的t不存在.当k0,使得当x(0,x0)时, f(x)g(x),此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx.令N(x)=ln(1+x)-kx-x2,x0,+),则有N(x)=1x+1-k-2x=-2x2-(k+2)x+1-kx+1,当x0,-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4时,N(x)0,N(x)在0,-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4上单调递增,故N(x)N(0)=0,即f(x)-g(x)x2.记x0与-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4中的较小者为x1, 则当x(0,x1)时,恒有|f(x)-g(x)|x2.故满足题意的t不存在.当k=1时,由()知,当x0时,|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1