高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_6 双曲线课件 文 新人教版

9 6双曲线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内与两个定点F1 F2的等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 两焦点间的距离叫做 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 P点的轨迹是双曲线 2 当时 P点的轨迹是两条射线 3 当时 P点不存在 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y R x R y a或y a 坐标轴 原点 1 2a 2b a2 b2 巧设双曲线方程 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点F1 0 4 F2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 1 教材改编 若双曲线 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 考点自测 答案 解析 由题意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 答案 解析 由题意知 2 m m 1 0 解得m 1或m 2 故选D A m 1B m 1或m 2 3 2015 安徽 下列双曲线中 焦点在y轴上且渐近线方程为y 2x的是 答案 解析 由双曲线性质知A B项双曲线焦点在x轴上 不合题意 C D项双曲线焦点均在y轴上 但D项渐近线为y x 只有C符合 故选C 答案 解析 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为 2 0 题型分类深度剖析 例1已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 则动圆圆心M的轨迹方程为 题型一双曲线的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹方程 答案 解析 几何画板展示 如图所示 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B 根据两圆外切的条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因为 MA MB 所以 MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 BC2 AC1 2 所以点M到两定点C1 C2的距离的差是常数且小于 C1C2 6 又根据双曲线的定义 得动点M的轨迹为双曲线的左支 点M与C2的距离大 与C1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 命题点2利用待定系数法求双曲线方程 解答 设双曲线的标准方程为 b 6 c 10 a 8 2 焦距为26 且经过点M 0 12 解答 双曲线经过点M 0 12 M 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 命题点3利用定义解决焦点三角形问题 例3已知F1 F2为双曲线C x2 y2 2的左 右焦点 点P在C上 PF1 2 PF2 则cos F1PF2 答案 解析 由双曲线的定义有 PF1 PF2 引申探究 1 本例中将条件 PF1 2 PF2 改为 F1PF2 60 则 F1PF2的面积是多少 解答 不妨设点P在双曲线的右支上 则 PF1 PF2 2a 2 在 F1PF2中 由余弦定理 得 不妨设点P在双曲线的右支上 则 PF1 PF2 2a 2 解答 所以在 F1PF2中 有 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 即 PF1 2 PF2 2 16 所以 PF1 PF2 4 思维升华 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 PF1 PF2 2a 运用平方的方法 建立与 PF1 PF2 的联系 3 待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然后再根据a b c e及渐近线之间的关系 求出a b的值 如果已知双曲线的渐近线方程 求双曲线的标准方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 跟踪训练1 1 已知F1 F2为双曲线的左 右焦点 P 3 1 为双曲线内一点 点A在双曲线上 则 AP AF2 的最小值为 答案 解析 几何画板展示 由题意知 AP AF2 AP AF1 2a 要求 AP AF2 的最小值 只需求 AP AF1 的最小值 当A P F1三点共线时 取得最小值 答案 解析 题型二双曲线的几何性质 答案 解析 A m n且e1e2 1B m n且e1e2 1C m n且e1e2 1D m n且e1e2 1 由题意可得m2 1 n2 1 即m2 n2 2 又 m 0 n 0 故m n 2 2015 山东 在平面直角坐标系xOy中 双曲线C1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线C2 x2 2py p 0 交于点O A B 若 OAB的垂心为C2的焦点 则C1的离心率为 答案 解析 OAB的垂心为F AF OB kAF kOB 1 思维升华 答案 解析 题型三直线与双曲线的综合问题 例5 2016 兰州模拟 已知椭圆C1的方程为 y2 1 双曲线C2的左 右焦点分别是C1的左 右顶点 而C2的左 右顶点分别是C1的左 右焦点 1 求双曲线C2的方程 解答 则a2 4 1 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 解答 由直线l与双曲线C2交于不同的两点 得 设A x1 y1 B x2 y2 思维升华 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 跟踪训练3若双曲线E y2 1 a 0 的离心率等于 直线y kx 1与双曲线E的右支交于A B两点 1 求k的取值范围 解答 故双曲线E的方程为x2 y2 1 设A x1 y1 B x2 y2 得 1 k2 x2 2kx 2 0 直线与双曲线右支交于A B两点 解析 整理得28k4 55k2 25 0 k2 或k2 x1 x2 4 y1 y2 k x1 x2 2 8 点C是双曲线上一点 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错系列11 1 点差法 解决直线与圆锥曲线的交点问题 要考虑变形的条件 2 判别式 0 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 错解展示 现场纠错 纠错心得 典例已知双曲线x2 1 过点P 1 1 能否作一条直线l 与双曲线交于A B两点 且点P是线段AB的中点 返回 解设点A x1 y1 B x2 y2 在双曲线上 且线段AB的中点为 x0 y0 若直线l的斜率不存在 显然不符合题意 设经过点P的直线l的方程为y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 当k 2时 方程 可化为2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 没有实数解 不能作一条直线l与双曲线交于A B两点 且点P 1 1 是线段AB的中点 返回 课时作业 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 11B 9C 5D 3 由双曲线定义 PF2 PF1 2a PF1 3 P在左支上 a 3 PF2 PF1 6 PF2 9 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A 16B 20C 21D 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由双曲线定义 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 8 AF1 BF1 AF2 BF2 16 21 ABF1的周长为 AF1 BF1 AB 21 5 26 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 解得x 5或x 1 又a 3 故c 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 北京 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线为2x y 0 一个焦点为 0 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 由2x y 0 得y 2x 解得a 1 b 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 浙江 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为F1 F2 若点P在双曲线上 且 F1PF2为锐角三角形 则 PF1 PF2 的取值范围是 答案 解析 如图 由已知可得a 1 b c 2 从而 F1F2 4 由对称性不妨设P在右支上 设 PF2 m 则 PF1 m 2a m 2 由于 PF1F2为锐角三角形 解得 1 m 3 又 PF1 PF2 2m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 点P在双曲线的右支上 且 PF1 4 PF2 则此双曲线的离心率e的最大值为 答案 解析 要求e的最大值 即求cos F1PF2的最小值 由定义 知 PF1 PF2 2a 又 PF1 4 PF2 在 PF1F2中 由余弦定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 设双曲线C的中心为点O 若有且只有一对相交于点O且所成的角为60 的直线A1B1和A2B2 使 A1B1 A2B2 其中A1 B1和A2 B2分别是这对直线与双曲线C的交点 则该双曲线的离心率的取值范围是 答案 解析 由双曲线的对称性知 满足题意的这一对直线也关于x轴 或y轴 对称 又由题意知有且只有一对这样的直线 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30 且小于等于60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 中心在原点 焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1 F2 且 F1F2 2 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4 离心率之比为3 7 1 求这两曲线方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知c 设椭圆长半轴长 短半轴长分别为a b 双曲线实半轴长 虚半轴长分别为m n 解得a 7 m 3 b 6 n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若P为这两曲线的一个交点 求cos F1PF2的值 解答 不妨设F1 F2分别为左 右焦点 P是第一象限的一个交点 则 PF1 PF2 14 PF1 PF2 6 PF1 10 PF2 4 又 F1F2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 双曲线方程可化为2x2 y2 2a2 设直线l的方程为y x m 4m2 4 m2 2a2 0 直线l一定与双曲线相交 设P x1 y1 Q x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则x1 x2 2m x1x2 m2 2a2 消去x2 得m2 a2 x1x2 y1y2 x1x2 x1 m x2 m 2x1x2 m x1 x2 m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 m2 4a2 3 m 1 a2 1 b2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 又a2 b2 c2 解得a 2 b 1 2 若直线l y kx m与双曲线C相交于A B两点 A B均异于左 右顶点 且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 证明 1 2