计数原理与概率统计.ppt

决胜高考 专案突破 名师诊断 对点集训 考情报告 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 考向预测 本专题是高考的一个热点内容 从近三年的高考题来看 对计数原理 排列组合与概率要求总体中等偏上 对分类加法计数原理 分步乘法计数原理和排列组合的考查主要是和古典概型结合到一起的一道小综合题 二项式定理的考查以基本题型为主 主要是课本题目的变形 几何概型考了一次 互斥 相互独立与独立重复试验一般在大题中出现 考查基本概念与基本算法 条件概率基本与考纲要求一样 以了解为主 目前还没有考查 高考对这部分内容 一般考查2道小题 1道大题 小题多为中 低档题 大题则多为中档题 考查的热点是统计 概率 随机变量及其分布 特别是概率 随机变量及其分 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 布列几乎是必考题 要引起充分重视 预测2013年会延续这种考情 考题难度不会再加大 对计数原理 包括排列组合 二项式定理 概率及随机变量的分布还会重点考查 要重视对概率意义的理解 重视概率的实际应用 知能诊断 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 2012临沂二模 二项式 2 6的展开式中的常数项为 A 120 B 120 C 160 D 160 解析 展开式的通项为Tr 1 2 6 r r 1 r 26 r 1 r 26 rx3 r 令3 r 0 得r 3 所以常数项为T4 1 3 23 160 选D 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 2012徐州二质检 箱中有号码分别为1 2 3 4 5的五张卡片 从中一次随机抽取两张 则两张号码之和为3的倍数的概率为 解析 抽取2张卡片共有种取法 不考虑顺序 其中号码和为3的倍数的有 1 2 1 5 2 4 4 5 所以概率为 答案 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 2012南通 泰州 扬州苏中三市高三第二次调研测试 已知函数f x log2x 在区间 2 上随机取一个数x0 则使得f x0 0的概率为 解析 f x0 0 x0 1 则1 x0 2 所以概率p 答案 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 科目一考试网科目四考试网驾校一点通365网驾驶员理论考试网 4 2012南京二模 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系数X依次为1 2 3 4 5 现从一批该日用品中随机抽取200件 对其等级系数进行统计分析 得到频率f的分布如下 则在所抽取的200件日用品中 等级系数X 1的件数为 解析 由所有频率之和为1 可知道a 0 1 由频率公式可知所求件数为20 答案 20 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 2012浙江慈溪模拟 现安排甲 乙等5名同学去参加3个运动项目 要求每个项目都有人参加 每人只参加一个项目 则满足上述要求且甲 乙两人不参加同一个项目的安排方法种数为 A 114 B 162 C 108 D 132 解析 5个人分别参加三个项目有两种可能 1人 1人 3人 2人 2人 1人 当按1人 1人 3人参加时 可按以下方式分类考虑 甲 乙都参加只有一人的项目 则有 6种情况 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 甲 乙中参加项目有一个只有一人的 则有2 36种 当按2人 2人 1人参加时 可按以下方式分类考虑 甲 乙中参加项目有一个只有一人的 则有2 36种 甲 乙都是参加项目有两人的 则有 36种 将上面所有情况相加即得答案 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 2012济南5月模拟 将1 2 3 9这9个数字填在如图的9个空格中 要求每一行从左到右 每一列从上到下分别依次增大 当3 4固定在图中的位置时 填写空格的方法数为 A 6种 B 12种 C 18种 D 24种 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 根据数的大小关系可知 1 2 9的位置是固定的 则剩余5 6 7 8四个数字 选两个数字放C B处即可 有种排法 选A 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 2012年 新课标全国 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n N 的函数解析式 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的分布列 数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 当日需求量n 16时 利润y 80 当日需求量n 16时 利润y 10n 80 所以y关于n的函数解析式为 y n N 2 X可能的取值为60 70 80 并且有 P X 60 0 1 P X 70 0 2 P X 80 0 7 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 X的分布列为 X的数学期望为 EX 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 X的方差为 DX 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 答案一 花店一天应购进16枝玫瑰花 理由如下 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 若花店一天购进17枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 Y的数学期望为 EY 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 Y的方差为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 DY 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 由以上的计算结果可以看出 DX DY 即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外 虽然EX EY 但两者相差不大 故花店一天应购进16枝玫瑰花 答案二 花店一天应购进17枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购近17枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 Y的数学期望为 EY 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 由以上的计算结果可以看出 EX EY 即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润 故花店一天应购进17枝玫瑰花 诊断参考 1 应用两个计数原理时容易出现的问题是 重复或遗漏 搞不清分类 分步的标准 2 应用二项展开式的通项公式时 涉及根式与指数式转化过程计算容易出错 其次就是易忽略系数的符号 1 r 导致错误 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 考生对三种抽样方法的特点模糊不清 特别是分层抽样按比例抽取 有的考生对比例关系把握不清 4 计算概率时 考生对基本事件确定有误 基本事件计算不准确 书写不规范 计算错误 5 考生搞不清离散型随机变量的所有可能值与所有可能值的概率 6 在画频率分布直方图时 纵坐标易错 往往直接画成频率 实际上频率分布直方图的纵坐标是频率 组距 频率分布直方图的面积是频率 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 核心知识 1 计数原理 2 排列与组合 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 二项式定理 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 概率模型 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 统计 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 离散型随机变量 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点一 排列与组合应用题 7 回归分析和独立性检验 考点突破 1 在解决具体问题时 首先必须弄清楚是 分类 还是 分步 接着还要搞清楚 分类 或者 分步 的具体标准是什么 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 区分某一问题是排列还是组合问题 关键看选出的元素与顺序是否有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响 则是组合问题 也就是说排列问题与选取元素的顺序有关 组合问题与选取元素的顺序无关 3 排列与组合综合应用问题的常见解法 特殊元素 特殊位置 优先安排法 合理分类与准确分步 排列 组合混合问题先选后排法 相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 定序问题倍缩法 多排问题一排法 小集团 问题先整体后局部法 构造模型法 正 难则反 等价转化法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同工作 若其中甲 乙两名志愿者都不能从事翻译工作 则选派方案共有 A 280种 B 240种 C 180种 D 96种 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 数学研究性学习小组共有13名同学 其中男同学8名 女同学5名 从这13人里选出3人准备作报告 在选出的3人中 至少要有1名女同学 则不同选法种数为种 以数字作答 3 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查 若每个路口4人 则不同的分配方案共有 A 种 B 3种 C 种 D 种 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 人从事翻译工作的情况数目 进而由事件间的关系 计算可得答案 分析 1 根据题意 使用排除法 首先计算从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作的情况数目 再分析计算其包含的甲 乙两 2 至少要有1名女同学 可以理解为 选出的3人中有1名女同学 2名男同学 2名女同学 1名男同学 3名全是女同学 这样就可直接按分类加法计数原理解答题目 3 首先把12个人平均分成3组 这是一个平均分组 从12个中选4个 从8个中选4个 最后余下4个 这些数相乘再除以3个元素的全排列 再把这三个小组作为三个元素分到三个路口 这样就有一个全排列 根据分步计数原理得到结果 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 根据题意 由排列可得 从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作 有 360种不同的情况 其中包含甲从事翻译工作有 60种 乙从事翻译工作的有 60种 若其中甲 乙两名志愿者都不能从事翻译工作 则选派方案共有360 60 60 240种 故选B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 解法1 直接法 选1名女同学 2名男同学 有种选法 选2名女同学 1名男同学 有种选法 选3名女同学 男同学不选 有种选法 综上 根据分类计数原理知 选法共有 230 种 解法2 间接法 如果没有限制条件 则有种选法 而不符合条件 即选出的全是男同学的选法是种 因此 至少要有1名女同学的不同选法有 230 种 3 首先把12个人平均分成3组 共有个结果 再把这三个小组作为三个元素分到三个路口 这样就有一个全排列 共有种结果 根据分步乘法计数原理知共有 故选A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 答案 1 B 2 230 3 A 归纳拓展 对于排列 组合的综合题目 一般是将符合要求的元素取出或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 即一般策略为先组合后排列 分组时 要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 排列组合的综合问题从解法看 大致有以下几种 1 有附加条件的排列组合问题 大多需要用分类讨论的方法 注意分类时应不重不漏 2 排列与组合的混合型问题 用分类加法或分步乘法计数原理解决 3 元素相邻 可以看做是一个整体的方法 4 元素不相邻 可以利用插空法 5 间接法 把不符合条件的排列与组合剔除掉 6 穷举法 把不符合条件的所有排列或组合一一写出来 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 16字方针 是解排列组合题的基本规律 即 有序排列 无序组合 分类为加 分步为乘 2 12个技巧 是速解排列组合题的捷径 即 相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 多排问题单排法 定序问题倍缩法 定位问题优先法 有序分配问题分步法 多元问题分类法 交叉问题集合法 至少 至多 问题间接法 选排问题先取后排法 附注 解排列组合题的 16字方针 12个技巧 局部与整体问题排除法 复杂问题转化法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练1 1 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 并且水彩画不放在两端 那么不同的陈列方式有 A 种 B 种 C 种 D 种 2 一条长椅上有9个座位 3个人坐 若相邻2人之间至少有2个空椅子 共有种不同的坐法 3 一条长椅上有7个座位 4个人坐 要求3个空位中 恰有2个空位相邻 共有种不同的坐法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 先各看成整体 但水彩画不在两端 则为 然后水彩画与国画各全排列 所以共有种陈列方式 2 先将3人 用 表示 与4张空椅子 用 表示 排列如图 这时共占据了7张椅子 还有2张空椅子 一是分开插入 如图中箭头所示 从4个空当中选2个插入 有种插法 二是2张同时插入 有种插法 再考虑3人可交换 有种方法 所以 共有 60 种 3 可先让4人坐在4个位置上 有种排法 再让2个 元素 一个是两个作为一个整体的空位 另一个是单独的空位 插入4个人形成的5个 空当 之间 有种插法 所以所求的坐法数为 480 答案 1 D 2 60 3 480 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点二 求二项展开式的通项 指定项 二项式定理是一个恒等式 求二项展开式中某指定项的系数 二项式系数或指定项问题 是二项式定理的常考问题 通常用通项公式来解决 在应用通项公式时 要注意以下几点 1 它表示二项展开式的任意项 只要n与r确定 该项就随之确定 2 Tr 1是展开式中的第r 1项 而不是第r项 3 公式中a b的指数和为n且a b不能随便颠倒位置 4 要将通项中的系数和字母分离开 以便于解决问题 5 对二项式 a b n展开式的通项公式要特别注意符号问题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 设f x 1 x m 1 x n展开式中x的系数是19 m n N 1 求f x 展开式中x2的系数的最小值 2 当f x 展开式中x2的系数取最小值时 求f x 展开式中x7的系数 分析 求二项展开式中指定项 关键是研究通项公式 结合通项 找出指数的组成规律 确定项的组成规律 解析 f x 1 x m 1 x n展开式中x的系数是19 即 19 m n 19 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 f x 展开式中x2的系数为 n2 19n 171 n 2 又 n N 当n 9或n 10时 的最小值为 2 81 x2的系数的最小值为81 2 由 1 知当n 9 m 10或n 10 m 9时 x2的系数最小 此时x7的系数为 156 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 开式中项的系数与其二项式系数 归纳拓展 对二项展开式的通项公式要灵活应用 以及能区分展 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练2 1 x x2 x 6的展开式中的常数项为 解析 1 x x2 x 6 1 x x2 x6 0 x5 1 x4 2 x3 3 x2 4 x 5 x0 6 1 x x2 x6 6x4 15x2 20 所以常数项为1 20 x2 5 答案 5 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点三 二项式定理中的 赋值 问题 二项式中项的系数和 差可以通过对二项展开式两端字母的赋值进行解决 如 1 x n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和 只要令x 1即得 而 1 x n的展开式中各项系数的绝对值的和 只要把x前面的系数 1变为 1 令x 1得到 也可以不改变系数 1 直接令x 1得到 这样就不难类比得到 1 ax n展开式中各项系数绝对值的和为 1 a n 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 展开式中二项式系数之和 2 展开式中各项系数之和 3 a0 a1 a2 a200 4 展开式中所有偶数项系数之和 5 展开式中所有奇数项系数之和 分析 展开式的二项式系数和为2n 求展开式的系数和 奇数项 或偶数项 系数和一般用赋值法 系数的绝对值之和只要将二项式中的所有系数改写成正数之后再用赋值法即可解决 设 4x 1 200 a0 a1x a2x2 a200 x200 求 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 展开式中二项式系数之和为 2200 2 展开式中各项系数之和为f 1 3200 3 a0 a1 a2 a200 f 1 5200 4 a1 a3 a199 5 a0 a2 a200 归纳拓展 在二项式定理的应用中 赋值法 是一种重要方法 是处理组合数问题 系数问题的最有效的经典方法 赋值法的模式是 对任意的x A 某式子恒成立 那么对A中的特殊值 该式子一定成立 特殊值x如何选取视具体问题而定 没有一成不变的规律 它的灵 解析 令f x 4x 1 200 则 活性较强 一般取x 0 1 1较多 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练3 1 x 2x 5的展开式中各项系数的和为2 则该展开式中常数项为 2 若 1 2x 2011 a0 a1x a2011x2011 x R 则 的值为 解析 1 令x 1得 1 a 2 1 5 1 a 2 所以a 1 因此 x 2x 5展开式中的常数项即为 2x 5展开式中的系数与x的系数的和 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2x 5展开式的通项为Tr 1 2x 5 r 1 r x r 25 rx5 2r 1 r 令5 2r 1 得2r 4 即r 2 因此 2x 5展开式中x的系数为25 2 1 2 80 令5 2r 1 得2r 6 即r 3 因此 2x 5展开式中的系数为25 3 1 3 4 0 x 2x 5展开式中的常数项为80 40 40 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 1 2x 2011 a0 a1x a2011x2011 x R 令x 0 则a0 1 令x 则 a0 0 其中a0 1 1 答案 1 40 2 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 在频率分布直方图中 各小长方形的面积表示相应的频率 各小长方形的面积的和为1 2 众数 中位数及平均数的异同 众数 中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 平均数是最重要的量 3 当总体的个体数较少时 可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布 当总体容量很大时 通常从总体中抽取一个样本 分析它的频率分布 以此估计总体分布 热点四 频率分布直方图或频率分布表问题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 总体期望的估计 计算样本平均值 xi 总体方差 标准差 的估计 方差 xi 2 标准差 方差 标准差 较小者较稳定 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 为普及校园安全知识 某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试 从中抽出60名学生 将其成绩分成六段 40 50 50 60 90 100 后 画出如图所示的频率分布直方图 观察图形的信息 回答下列问题 估计这次考试的及格率 60分及以上为及格 为 平均分为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 分析 用样本中及格的频率估计总体的及格率 以样本的平均数估计总体的平均数 即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数 解析 及格的各组的频率是 0 015 0 03 0 025 0 005 10 0 75 即及格率约为75 样本的均值为45 0 1 55 0 15 65 0 15 75 0 3 85 0 25 95 0 05 71 以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71 答案 75 71 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率 用样本的均值估计总体的均值 根据频率分布表估计样本均值的方法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的 归纳拓展 用样本估计总体时 如果已知频率分布直方图 那么就 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练4某工厂对一批产品进行了抽样检测 右图是根据抽样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于100克的个数是36 则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 产品净重小于100克的频率为 0 050 0 100 2 0 300 已知样本中产品净重小于100克的个数是36 设样本容量为n 则 0 300 所以n 120 净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为 0 100 0 150 0 125 2 0 750 所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120 0 750 90 答案 90 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点五 茎叶图及数字特征 随机抽取某中学甲 乙两班各10名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图如图所示 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学 求身高176cm的同学被抽中的概率 分析 根据茎叶图读出各数据 然后根据公式计算平均值和方差 解析 1 由茎叶图可知 甲班身高集中于160 179之间 而乙班身高集中于170 180之间 因此乙班平均身高高于甲班 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 170 甲班的样本方差s2 158 170 2 162 170 2 163 170 2 168 170 2 168 170 2 170 170 2 171 170 2 179 170 2 179 170 2 182 170 2 57 2 3 设身高为176cm的同学被抽中的事件为A 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有个基本事件 而事件A含有个基本事件 P A 归纳拓展 1 本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算 其中从茎叶图中读出数据是关键 为此 首先要弄清 茎 和 叶 分 别代表什么 2 要熟练掌握众数 中位数 平均数 方差 标准差的计算方法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练5甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次 记录如下 甲 8281797895889384 乙 9295807583809085 1 画出甲 乙两位学生成绩的茎叶图 指出学生乙成绩的中位数 2 现要从中选派出成绩最稳定的一人参加数学竞赛 从平均成绩和方差的角度考虑 你认为派哪位学生参加合适 请说明理由 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 茎叶图如下 学生乙成绩的中位数为 84 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 派甲参加比较合适 理由如下 70 2 80 4 90 2 9 8 8 4 2 1 5 3 85 70 1 80 4 90 3 5 3 5 2 5 85 78 85 2 79 85 2 81 85 2 82 85 2 84 85 2 88 85 2 93 85 2 95 85 2 35 5 75 85 2 80 85 2 80 85 2 83 85 2 85 85 2 90 85 2 92 85 2 95 85 2 41 甲的成绩比较稳定 派甲参加比较合适 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点六 抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样 系统抽样 分层抽样三种 这三种抽样方法各自适用不同特点的总体 但无论哪种抽样方法 每一个个体被抽到的概率都是相等的 都等于样本容量和总体容量的比值 1 2012年 山东 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查 为此将他们随机编号为1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9 抽到的32人中 编号落入区间 1 450 的人做问卷A 编号落入区间 451 750 的人做问卷B 其余的人做问卷C 则抽到的人中 做问卷B的人数为 A 7 B 9 C 10 D 15 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 某地有居民100000户 其中普通家庭99000户 高收入家庭1000户 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查 发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房 其中普通家庭50户 高收入家庭70户 依据这些数据并结合所掌握的统计知识 你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 分析 1 由系统抽样的特点可得抽到的号码构成以9为首项 以30为公差的等差数列 求得此等差数列的通项公式为an 9 30 n 1 30n 21 由451 30n 21 750求得正整数n的个数 即为所求 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 为分层抽样问题 首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例 得出100000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数 它除以100000得到的值为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计 解析 1 由题意可知抽到的编号为9 39 69 构成了首项为9 公差为30的等差数列 其通项公式为an 9 n 1 30 30n 21 故做问卷B的编号满足451 30n 21 750 可知16 n 25 故人数为10 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有 99000 1000 5700户 所以所占比例的合理估计是5700 100000 5 7 答案 1 C 2 5 7 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 各种抽样都是等概率抽样 往往是解题的突破口 归纳拓展 1 解决此类题目要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练6 1 2012温州模拟 某工厂生产A B C三种不同型号的产品 产品数量之比为3 4 7 现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本 样本中A型号产品有15件 那么样本容量n为 A 50 B 60 C 70 D 80 2 2012济南模拟 为规范学校办学 省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查 抽到的班级一共有52名学生 现将该班学生随机编号 用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本 已知7号 33号 46号同学在样本中 那么样本中还有一位同学的编号应是 A 13 B 19 C 20 D 51 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 由分层抽样的方法得 n 15 解得n 70 2 由系统抽样的原理知抽样的间隔为 13 故抽取的样本的编号分别为7 7 13 7 13 2 7 13 3 从而可知选C 答案 1 C 2 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点七 相互独立事件和独立重复试验 在概率中 事件之间有两种最基本的关系 一种是事件之间的互斥 含两个事件之间的对立 一种是事件之间的相互独立 互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和 相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积 在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在 把随机事件分拆成若干个互斥事件的和 把随机事件分拆成若干个相互独立事件的乘积是比较单纯的 在概率计算中一个极为重要的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和 再把其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积 在这个过程 中还可以根据对立事件的关系进行转化 这是概率计算的关键技巧 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分别是和 假设两人射击是否击中目标 相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目标 相互之间也没有影响 1 求甲射击4次 至少有1次未击中目标的概率 2 求两人各射击4次 甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率 3 假设某人连续2次未击中目标 则终止其射击 求乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 分析 第 1 问先求其对立事件的概率 第 2 问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式 第 3 问中 乙恰好射击5次被终止 可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中 第3次击中 后两次未击中两种情况 解析 1 甲至少一次未击中目标的概率是P1 P4 1 P4 2 P4 3 P4 4 1 P4 0 1 4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 甲射击4次恰好击中2次的概率为 P2 2 2 乙射击4次恰好击中3次的概率为 P3 3 由乘法公式 所求概率P P2P3 3 乙恰好5次停止射击 则最后两次未击中 前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中 第三次必击中 故所求概率为P 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 1 注意区分互斥事件和相互独立事件 互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况 相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响 当然可以同时发生 在解含有相互独立事件的概率题时 首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和 其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积 这两个事情做好了 问题的思路就清晰了 接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了 如果某些相互独立事件符合独立重复试验 就把这部分归结为用独立重复试验 用独立重复试验的概率计算公式解答 2 一个事件若正面情况比较多 反面情况较少 则一般利用对立事件进行求解 对于 至少 至多 等问题往往用这种方法求解 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练7某厂生产的A产品按每盒10件进行包装 每盒产品均需检验合格后方可出厂 质检办法规定 从每盒10件A产品中任抽4件进行检验 若次品数不超过1件 就认为该盒产品合格 否则 就认为该盒产品不合格 已知某盒A产品中有2件次品 求 1 该盒产品被检验合格的概率 2 若对该盒产品分别进行两次检验 则两次检验得出的结果不一致的概率 解析 1 从该盒10件产品中任抽4件 有等可能的结果数为种 其中次品数不超过1件的有 种 被检验认为是合格的概率为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 两次检验是相互独立的 可视为独立重复试验 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为 故 两次检验得出的结果不一致 即两次检验中恰有一次是合格的概率为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点八 随机变量的概率分布 均值和方差 1 处理有关离散型随机变量的应用问题 关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量 并明确随机变量所有可能的取值 2 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 3 注意应用 概率之和为1 这一性质检验解答是否正确 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 甲 乙两名教师进行乒乓球比赛 采用七局四胜制 先胜四局者获胜 若每一局比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 现已赛完两局 乙暂时以2 0领先 1 求甲获得这次比赛胜利的概率 2 设比赛结束时比赛的局数为随机变量X 求随机变量X的概率分布和数学期望E X 分析 1 甲获得这次比赛胜利情况有二 一是比赛六局结束 甲连续赢了四局 一是比赛了七局 甲在后五局中赢了四局 且最后一局是甲赢 分别计算出这两个事件的概率 求其和 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 设比赛结束时比赛的局数为X 则X的可能取值为4 5 6 7 当X 4时 乙获得比赛胜利 当X 5时 乙也获得比赛胜利 甲只在第3 4局胜一局 当X 6时 甲和乙都有可能胜利 包括甲第3 4 5 6局都胜 或是乙在第3 4 5局胜一局 第6局一定胜 当X 7时 甲 乙都可能胜利 乙在第3 4 5 6局胜一局 第7局有输赢两种可能 解析 1 设甲获胜为事件A 则甲获胜包括甲以4 2获胜和甲以4 3获胜两种情况 设甲以4 2获胜为事件A1 则P A1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 设甲以4 3获胜为事件A2 则P A2 P A P A1 P A2 2 随机变量X可能的取值为4 5 6 7 P X 4 P X 5 P X 6 P X 7 X的概率分布为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 E X 4 5 6 7 归纳拓展 1 求离散型随机变量的概率分布的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 然后综合应用各类求概率的公式 求出概率 2 求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分布 若随机变量服从二项分布 则可直接使用公式求解 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练8某校组织的一次篮球定点投篮比赛中 两人一对一比赛规则如下 若某人某次投篮命中 则由他继续投篮 否则由对方接替投篮 现由甲 乙两人进行一对一投篮比赛 甲和乙每次投篮命中的概率分别是 两人共投篮3次 且第一次由甲开始投篮 假设每人每次投篮命中与否均互不影响 1 求3次投篮的人依次是甲 甲 乙的概率 2 若投篮命中一次得1分 否则得0分 用X表示甲的总得分 求X的概率分布和数学期望 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 记 3次投篮的人依次是甲 甲 乙 为事件A 由题意 得P A 3次投篮的人依次是甲 甲 乙的概率是 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由题意X的可能取值为0 1 2 3 则P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 所以X的概率分布为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 E X 0 1 2 3 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点九 统计案例 本部分主要包括回归方程的求法和独立性检验 同学们在平时学习中对这部分往往不够重视 事实上 特别是近几年这两个考点在各地高考中常以大题的形式出现 因此同学们应根据新课标的要求对它们很好地掌握 对于回归直线 要会根据最小二乘法求其方程 这里关键是考查同学们的数据处理能力和计算能力 独立性检验问题 要理解其基本思想 根据给定的数据能够得到其2 2列联表 然后利用K2进行独立性检验 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 为考察某种药物预防疾病的效果 进行动物试验 得到如下丢失数据的列联表 药物效果试验列联表 设从没服用药的动物中任取两只 未患病数为X 从服用药物的 动物中任取两只 未患病数为Y 工作人员曾计算过P X 0 P Y 0 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 求出列联表中数据x y M N的值 2 求X与Y的均值 期望 并比较大小 请解释所得结论的实际含义 3 能够以99 的把握认为药物有效吗 公式参考数据 K2 当K2 3 841时有95 的把握认为X Y有关联 当K2 6 635时有99 的把握认为X Y有关联 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 分析 1 从已知P X 0 P Y 0 出发 结合2 2列联表可求 2 求出X Y的分布列 再求得E X 和E Y 即可 3 利用公式算出K2 结合参考数据可以判断 解析 1 P X 0 P Y 0 x 10 y 40 M 30 N 70 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 X取值为0 1 2 P X 0 P X 1 P X 2 E X 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 P Y 0 P Y 1 P Y 2 E Y E X E Y 即说明药物有效 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 K2 4 76 由参考数据知不能够有99 的把握认为药物有效 归纳拓展 独立性检验问题在实际中作用较大 此类问题应熟悉2 2列联表的意义 K2的大小对认定变量X与Y是否有关联的把握性 概率 是有关系的 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练9某地区甲校高三年级有1100人 乙校高三年级有900人 为了统计两个学校高三年级在某次毕业考试中的数学学科成绩 采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩 如下表 已知本次测试的总分为100分 甲校高三年级数学成绩 乙校高三年级数学成绩 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 计算x y的值 并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分 每组数据用区间中点代替 精确到1分 2 若数学成绩不低于80分为优秀 低于80分为非优秀 根据以上统计数据写出下面2 2列联表 并回答能否在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为 两个学校的数学成绩有差异 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 公式参考数据 K2 当K2 3 841时有95 的把握认为X Y有关联 当K2 6 635时有99 的把握认为X Y有关联 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 依题意用分层抽样法计算得甲校应抽取110人 乙校应抽取90人 故x 10 y 15 估计甲校平均分为 75 乙校平均分为 71 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 列联表如下 K2 4 714 又因为4 714 6 635 故不能在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为 两个学校的数学成绩有差异 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 限时训练卷 一 一 选择题 1 5名应届毕业生报考三所高校 每人报且仅报一所院校 则不同的报名方法的种数是 A 35 B 53 C D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 第n名应届毕业生报考的方法有3种 n 1 2 3 4 5 根据分步计数原理不同的报名方法共有3 3 3 3 3 35 种 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 2012山东实验中学一模 二项式 x2 10的展开式中的常数项是 A 第10项 B 第9项 C 第8项 D 第7项 解析 展开式的通项公式Tr 1 2r 令20 r 0 得r 8 展开式中常数项是第9项 故选B 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 2012浙江镇海中学 若 1 3x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 等于 A 1024 B 243 C 32 D 24 解析 分析式子易得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 故令x 1即可得答案 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 2012台州一模 用0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的六位数中 相邻两位数字的奇偶性都不同的有 A 24个 B 36个 C 60个 D 72个 解析 个位数为偶数 则有 36个 个位数为奇数 则有 24个 共有60个 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 2012惠州二模 若 ax 1 5的展开式中x3的系数是80 则实数a的值为 A 2 B 2 C D 2 解析 ax 1 5的展开式中含x3的项为 ax 3 1 2 10a3x3 由题意得10a3 80 所以a 2 选D 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 2012嘉兴二模 有6个人站成前后两排 每排3人 若甲 乙两人左右 前后均不相邻 则不同的站法种数为 A 240 B 384 C 480 D 768 解析 以甲为特殊元素分类考虑 甲在1位置时 乙可在3 5 6位置 则有3 72种 甲在2位置时 乙可在4 6位置 则有2 48种 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 甲在3位置时 乙可在1 4 5位置 则有3 72种 甲在4 5 6位置时 与以上三种相似 则有3 2 3 192种 故共有2 3 2 3 384种 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 2012威海二模 设 x 6的展开式中x3的系数为A 二项式系数为B 则A B等于 A 4 B 4 C 26 D 26 解析 Tk 1 x6 k k 2 k 令6 3 即k 2 所以T3 x3 2 2 60 x3 所以x3的系数为A 60 二项式系数为B 15 所以A B 60 15 4 选A 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 8 2x 5的展开式中不含x 3的项的系数和为 A 1 B 10 C 9 D 9 解析 令x 1 则 2 5 1 各项系数和为1 展开式通项为Tr 1 2x 5 r r 1 r 25 r x5 2r 当r 4时 T5 10 x 3 不含x 3的项的系数和为1 10 9 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 9 现有高三 1 班参加校文艺演出的3男3女共6位同学 从左至右站成一排合影留念 要求3位女生有且只有两个相邻 则不同的排法有 A 280种 B 360种 C 432种 D 480种 解析 先将3位女生分成2组 再将3个男生排成一排 用插空法将2组女生排入男生当中去 共有 432种排法 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 10 在的二项展开式中 x2的系数为 解析 该二项展开式的通项为Tr 1 1 r x3 r 令3 r 2 得r 1 x2的系数为 6 答案 二 填空题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 11 为了应对金融危机 某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人 要求甲 乙两人不能全部裁去 则不同的裁员方案的种数为 解析 甲 乙中裁一人的方案有种 甲 乙都不裁的方案有种 故不同的裁员方案共有 182种 答案 182 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 12 2012北京西城区一模 有限集合P中元素的个数记作card P 已知card M 10 A M B M A B 且card A 2 card B 3 若集合X满足A X M 则集合X的个数是 若集合Y满足Y M 且A Y B Y 则集合Y的个数是 用数字作答 解析 显然card M 10表示集合M中有10个元素 card A 2表示集合A中有2个元素 而A X M 故集合X中可以只含A中的2个元素 也可以除了A中的2个元素外 在剩下的8个元素中任取1个 2个 3个 8个 共有 256种情况 即符合要求所求的集合X有256个 满足条件Y M的集合Y的个数为210 其中不满足条件A Y的集合Y的个数为28 不满足条件B Y的集合Y的个数为27 同时满足A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 Y B Y的集合Y的个数为25 故满足条件的集合Y的个数是210 28 27 25 672 答案 256672 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 13 2012南京 盐城三模 已知数列 an 的首项为1 p x a1 1 x n a2x 1 x n 1 a3x2 1 x n 2 anxn 1 1 x an 1xn 三 解答题 1 若数列是公比为2的等比数列 求p 1 的值 2 若数列是公差为2的等差数列 求证 p x 是关于x的一次多项式 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 方法一 由题设知 an 2n 1 p 1 1 1 0 2n 2 1 1 2n 1 22 1 2 2n 2 2n 1 n 20 2 0 2n 2 1 2n 1 2 2 2n 2 2 n 20 2 2 n 0 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 方法二 若数列 an 是公比为2的等比数列 则an 2n 1 故p x 1 x n 2x 1 x n 1 2x 2 1 x n 2 2x n 1 1 x 2x n 1 x 2x n 1 x n 所以p 1