12复变函数5(1).ppt

第五章留数 1孤立奇点 但在z0的某一个去心邻域0 z z0 d内处处解析 则z0称为 函数不解析的点为奇点 如果函数f z 虽在z0不解析 f z 的孤立奇点 不应认为函数的奇点都是孤立的 例如z 0是函数 怎样小的去心领域内总有f z 的奇点存在 开成洛朗级数 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类 可去奇点如果在洛朗级数中不含z z0的负幂项 则孤 这时 f z c0 c1 z z0 cn z z0 n 0 z z0 d 则在圆域 z z0 d内就有f z c0 c1 z z0 cn z z0 n 将函数f z 在它的孤立奇点z0的去心邻域0 z z0 d内展 立奇点z0称为f z 的可去奇点 从而函数f z 在z0就成为解析的了 所以z0称为可去奇点 m 1 c m 0 则孤立奇点z0称为函数f z 的m级极点 上式也可写成 在 z z0 d内是解析的函数 且g z0 0 反过来 当任何一个函数f z 能表示为 的形式 且 2 极点如果在洛朗级数中只有有限多个z z0的负幂项 且其中关于 z z0 1的最高幂为 z z0 m 即 f z c m z z0 m c 2 z z0 2 c 1 z z0 1 c0 c1 z z0 其中g z c m c m 1 z z0 c m 2 z z0 2 g z0 0时 则z0是f z 的m级极点 如果z0为f z 的极点 由 式 就有 3 本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z z0的负幂项 则孤立奇点z0称为f z 的本性奇点 综上所述 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型 4 函数的零点与极点的关系 f z z z0 mj z 其中j z 在z0解析且j z0 0 例如当f z z z 1 3时 z 0与z 1是它的一级与三级零点 根据这个定义 我们可以得到以下结论 不恒等于零的解析函数f z 如果能表示成 m为某一正整数 则z0称为f z 的m级零点 如f z 在z0解析 则z0是f z 的m级零点的充要条件是 f n z0 0 n 0 1 2 m 1 f m z0 0 这是因为 如果f z 在z0解析 就必能在z0的邻域展开 例如z 1是f z z3 1的零点 由于f 1 3z2 z 1 3 0 由于f z z z0 mj z 中的j z 在z0解析 且j z0 0 为泰勒级数 f z c0 c1 z z0 cm z z0 m 易证z0是f z 的m级零点的充要条件是前m项系数 c0 c1 cm 1 0 cm 0 这等价于 f n z0 0 n 0 1 2 m 1 f m z0 0 从而知z 1是f z 的一级零点 因而它在z0的邻域内不为零 这是因为j z 在z0解析 必在z0连续 所以给定 所以f z z z0 mj z 在z0的去心邻域内不为零 即不恒 定理如果z0是f z 的m级极点 则z0就是的m级零点 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法 为零的解析函数的零点是孤立的 反过来也成立 例2 z kp k 0 1 2 由于 sinz z kp cosz z kp 1 k 0 所以z kp是sinz的一级零点 也就是1 sinz的一级极点 例3 对讨论函数在处的性态 5 函数在无穷远点的性态如果函数f z 在无穷远点z 作变换 把扩充z平面上 的去心邻域R z 又 这样 我们可把在去心邻域R z 的去心邻域R z 内解析 称点 为f z 的孤立奇点 映射成扩充w平面上原点的去心邻域 对f z 的研究变为在内对j w 的研究 显然j w 在内解析 所以w 0是孤立奇点 是否存在 有限值 为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定 例题1 例题2 例题3 2留数 留数的定义及留数定理如果函数f z 在z0的邻域D内解析 那末根据柯西积分定理 但是 如果z0为f z 的一个孤立奇点 则沿在z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不等于零 因此f z c n z z0 n c 1 z z0 1 c0 c1 z z0 cn z z0 n 0 z z0 R 两端沿C逐项积分 称C 1为f z 在z0的留数 记作Res f z z0 即 定理一 留数定理 设函数f z 在区域D内除有限个孤立奇点z1 z2 zn外处处解析 C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 则 证 把在C内的孤立奇点zk k 1 2 n 用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来 则根据复合闭路定理有 注意定理中的条件要满足 例如 不能应用留数定理 求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 z z0 1项的系数c 1即可 但如果知道奇点的类型 对求留数可能更有利 如果z0是f z 的可去奇点 则Res f z z0 0 如果z0是本性奇点 则只好将其按洛朗级数展开 如果z0是极点 则有一些对求c 1有用的规则 2 留数的计算规则规则1如果z0为f z 的一级极点 则 规则2如果z0为f z 的m级极点 则 事实上 由于f z c m z z0 m c 2 z z0 2 c 1 z z0 1 c0 c1 z z0 z z0 mf z c m c m 1 z z0 c 1 z z0 m 1 c0 z z0 m 令两端z z0 右端的极限是 m 1 c 1 两端除以 m 1 就是Res f z z0 即得规则2 当m 1时就是规则1 即得规则3 由规则1 得 我们也可以用规则3来求留数 这比用规则1要简单些 例5 解 所以原式 例4 解 z 0为一级极点 3 在无穷远点的留数设函数f z 在圆环域R z 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线 则积分 的值与C无关 称其为f z 在 点的留数 记作 f z 在圆环域R z 内解析 理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线 这就是说 f z 在 点的留数等于它在 点的去心邻域R z 内洛朗展开式中z 1的系数变号 定理二如果f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 那末f z 在所有各奇点 包括 点 的留数总和必等于零 证 除 点外 设f z 的有限个奇点为zk k 1 2 n 且C为一条绕原点的并将zk k 1 2