首师大数学师范-中学数学教材教法口试题答案.doc

口试题1：请说明幂函数（为有理数）的定义域。q/p1，R；0q/p1,且q为偶数，R；0q/p1，且p为偶数，x0; 0q/p1,且p, q为奇数，R；q/p= 0, R;-1q/p0, 且q为偶数，x0, -1q/p0; -1q/p0,且p, q为奇数，x0；q/p-1, x0口试题2：请说明指数函数、对数函数定义域、值域、单调性。指数函数：定义域R，值域（0，+），0a1时，增对数函数：定义域（0，+），值域R，0a1时，增相关定义口试题3：请说明三角函数和反三角函数的定义域和值域。y=sin(x),y=cos(x)的定义域为R,值域为-1,1， y=tan(x)的定义域为x不等于/2+k,值域为R y=cot(x)的定义域为x不等于k,值域为Ry=arcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2,/2 y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0, y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)y=arccot(x),定义域（-,+），值域（0，）口试题4：阐述平面几何中可用于证明两条线段相等的定理（至少六个定理）。一：等角对等边；二：全等三角形对应边相等；三：以“垂径定理及其推论”为思路证明两条线段相等。四：以“弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角等关系定理”为思路证明两条线段相等。五：以特殊多边形性质为线索证明两条线段相等。（平行四边形，菱形，矩形）六：平行线等分线段定理。（夹在两平行线间的平行线段相等）七：中垂线定理和角平分线定理。八：切线长定理（从圆外一点做圆的两条切线，他们的切线长相等）口试5：阐述平面几何中可用于证明两角相等的定理（至少六个定理）。1、 等边对等角；2、 全等三角形，相似三角形对应角相等；3、 两平行线中，同位角，内错角相等；4、 对顶角相等；5、 同弧、同弦所对的圆周角，圆心角相等；6、 角平分线性质定理的逆定理；7、 等角和同角的余角相等，等角和同角的补角相等；8、 平行四边形的对角相等口试6：阐述可用于证明两条直线平行的定理（至少六个定理）。平面几何中1、 内错角相等；2、 同位角相等；3、 同旁内角互补；4、 同平行、垂直于同一直线的两条直线平行；立体几何5、 同垂直于同一平面的两条直线平行；6、 同平行同一直线的两条直线平行；7、 一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；8、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。口试7：阐述平面几何中可用于证明两条直线垂直的定理（至少六个定理）。1、 勾股定理的逆定理；2、 菱形对角线垂直；3、 三线合一定理；（中线，高线，角平分线）4、 直径所对的圆周角为90.；5、 圆的切线垂直于过切点的半径；6、 三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这是直角三角形；7、 利用余弦定理口试8： 简要介绍立体几何用于证明两条直线垂直的定理。1、 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内任意直线；2、 三垂线定理；3、 三垂线逆定理；口试9：阐述可用于证明直线与平面垂直的定理以及概念，并简要介绍定理的证明方法。概念：直线与平面内任一条直线垂直，我们就说直线与平面垂直。1、 一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则该直线与该平面垂直；证明：2、 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；口试10：阐述可用于证明直线与平面平行的定理以及概念，并简要介绍定理的证明方法。概念：没有公共点定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行； 如图，a/b,若a与平面部平行，则至少有一个交点，那么a与b必相交，矛盾。口试11：阐述用于证明两个平面垂直的定理和概念，并介绍定理的证明方法。概念：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面垂直。定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。证明:EB垂直于a，过B点作AB垂直于CD，则角ABE为两平面的二面角，又角ABE为直角，所以，两平面垂直。口试12：阐述用于证明两个平面平行的定理和概念，并介绍定理的证明方法。概念：没有公共点定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。证明：a,b属于平面A,a,b相交，且平行于平面B，若平面A与平面B不平行，则假设两平面交于直线c，因为a平行于平面B，所以a平行于c，同理，b平行于c，那么a平行于b，矛盾。所以平面A平行于平面B。口试13：分析法是重要的数学思维方法之一，同时也是重要的数学证明方法，请说明分析法的含义。请用分析法证明：设，且，求证：。分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，只要最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（定义、定理、公理或已知条件）。口试14：位置关系是几何的重要研究对象，请问初中和高中分别研究了哪些位置关系，并阐述这些位置关系的定义，以及如何理解这些概念。初中：点与圆：1、圆外（dr）2、圆上（d=r）3、园内（dR+r）2、外切（d=R+r）3、相交（R-rda等形式）2、 一元二次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式。（化成一元一次不等式）3、 二元一次不等式：每个方程含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1的不等式。4、 分式不等式：分母中含有未知数的不等式。（化成整式不等式）5、 高次不等式6、 基本不等式：均值不等式口试17：阐述方程、不等式和函数等概念的定义，并说明它们之间的关系。方程：含有未知数的等式 不等式：用或号表示大小关系的式子函数：（初中）在一个变化过程中，如果两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与他对应，那么就成x是自变量，y是x的函数（高中）设A,B是非空数集，如果按某个确定的对应关系式，使对应集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那就称f:A-B是从集合A到集合B的一个函数口试18：举例说明方程、不等式和函数之间的关系。同17题口试19：中学数学中有哪些数的概念，它们是如何定义的？这些概念之间的关系是什么？正数：除0以外的自然数 负数：在除0以外的数前面加一负号“-”的数 正数，负数，0统称有理数 无理数：无限不循环小数 有理数和无理数统称为实数复数：把集合c=a+bi|a, bR中的数，即形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。（注意：数的分类）口试20：请阐述复数的定义，复数的四则运算满足四则运算律吗？我们可以类比什么样的代数运算来促进学生获得复数的四则运算规律？举例说明。复数满足四则运算类比实数的四则运算。1、 加法：交换律，结合律；减法是加法的逆运算。2、 乘法：交换律，结合律，分配率。除法是乘法的逆运算。（几何意义）口试21：阐述中学数学教学内容中圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义，并给出椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线的统一定义。初中：高中：平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。定点是圆心，定长是半径。统一定义：到定点的距离与到定直线的距离为常数的点的轨迹。定点是焦点，定直线的准线，常数为离心率。0e1：双曲线 e=1：抛物线口试22：说明圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并说明要应用标准方程求对应曲线方程时需要明确哪些关键要素？圆：（xa）2（yb）2r2 圆心、半径椭圆： 长半轴长、短半轴长、焦距双曲线： 长半轴长、短半轴长、焦距抛物线： 焦点口试23：在中学数学教学内容中，我们涉及到哪些角的概念？请阐明它们的定义。一、平面角：从一点引出的两条射线组成的角。余角：如果两个角的和为90，就称这两个角互为余角补角：180， 直角：90的角对顶角（作图解释） 同位角，内错角，同旁内角（平行）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所成的角圆心角：顶点在圆心的角 圆周角：顶点在圆周上，并且两边与原相交的角 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角 二、异面直线所成的角三、直线与平面所成的角四、平面与平面所成的角 （二面角） 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角任意角：正角，负角，零角 象限角 锐角，钝角问题1：二面角可以是钝角？ 可以问题2：两条直线方向向量所成的角与这两条直线的夹角有什么关系？（相等或互补）两个平面的法向量所成的角与这两个平面所成的二面角有什么关系？（相等或互补）口试24：比较大小常用的数学方法有哪些？请结合问题来解释。1.直接法：运用不等式的基本性质或相关结论可直接判定大小例1：设、为锐角，cos=cos(sin)，则、的大小关系为（ ）。（A）.，（B）.，（C）.，（D）.、大小关系不确定。分析：cos=cos(sin)，直接可以得到=sin,、为锐角，sin不是众所周知吗？故C成立。2.转化法：正面比较两个数的大小困难时，可转化为比较它们的平方、对数值、倒数等，或者进行恒等变形，以显示其内在的结构特征，这种形式的命题往往是根式，差式或是对数式等。例2：设a，b，c ，则a、b、c的大小关系为 。分析：由于a=，b，c= ，则acb。3.商值比较法：当需比较的两个数或式都大于零时，可作商比较，这种方法适合比较两个指数式的大小。例3：若mn0，a0.9m0.8n，b0.9n0.8m，则a、b的大小关系为 解：()m-n 由于mn0，且1()m-n1从而 1，又b0，则得ab。 4.差值比较法：多项式，分式，对数式的大小比较问题常用差值比较法，这类命题往往需要分类讨论。5.公式法：直接或间接运用现成的均值不等式或它们的变形形式解证问题。例5：设a、b、c、d、m、n都是正实数，P=，Q=，求P与Q的大小关系。分析：a、b、c、d、m、nR+Q= =P口试25：中学数学教学内容中研究了两种基本的数列，请问它们分别是什么？在中学数学内容中是如何定义的？请用文字语言和符号语言来解释。an - an-1= d, n1an / an-1=q，n1口试26：请说出等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，并说明应用这些公式的关键。 首项，公差 首项，公比口试27：中学数学教学内容研究了元素与集合的关系，集合与集合的关系，请说明这些关系的概念的定义，并举例说明。集合的表示方法：列举法、描述法口试28：集合运算有哪些类型？它们的含义是什么？请用符号语言和图形语言来解释这些运算。口试29：平面向量基本定理和空间向量基本定理分别是什么？它们与我们在高等代数中所学习的向量无关、极大无关组、基底有什么关系？口试30：用平面法向量和直线的方向向量之间的关系来说明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系。设l1,l2的方向向量分别为a, b,平面1，平面2的法向量分别为c，da, b共线：l1,l2平行或重合 a, b不共线：l1,l2相交a, c共线：l1垂直于平面1 a, c不共线：l1与平面1相交c，d共线：平面1，平面2平行或重合 c，d不共线：平面1，平面2相交口试31：请用符号语言正确表达除诱导公式之外的所有三角公式，并说明它们之间的关系。见表口试32：请说明一次函数、反比例函数、幂函数、指数函数的单调性。幂函数：指数函数：a1 增函数 0a1 减函数口试33：请说明对数函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性。对数：0a1 增口试34：请说明反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的定义域、值域及其单调性。见3题口试35：三角式有三种特征对选择和应用三角公式产生影响，请问这三种特征分别是什么？对应于三种特征，我们可以选择和应用哪些三角公式来实现三角式的化简或变形？口试36：请举例说明证明等式成立的三种基本策略和方法，在这些策略的选择和应用过程中会受到数学式子的一些特征的影响，请说明这些特征分别是什么？1、AB且BA，则A=B2、A=B,B=C,则A=C3、作差为0，作商为1口试37：不等式和方程之间存在哪些类似的性质？在哪些性质上存在差异？类似性质：1、 方程（不等式）两边加或减同一个数或式子，结果仍相等（不等号方向不变）2、 方程两边乘以一个数（式子）或除以一个不为0的数（式子），等式仍成立；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。差异：在负数的问题上，式子两边乘以或除以同一个负数的时候不等号方向的改变。口试38：类比方程和不等式、等差数列和等比数列的概念及其性质，并就其中一组解释如何进行类比。口试39：类比分数和分式的概念及其运算性质。分数：把单位1或整体1平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分式：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么A/B叫做分式。一、运算性质的类比分数分式加减同分母分母不变，分子相加减同分母分母不变，分子相加异分母1、 转化成分母相同的分数2、 分子相加减异分母1,转化成分母相同的分式4.分子相加减乘分子乘分子，分母乘分母能约分的先约分再相乘分子的积作为积的分子分母的积作为积分母除除以一个不为0的数，等于这个数的倒数把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘二、分式的基本性质与分数的基本性质进行类比 分数的基本性质：在分数的分子和分母上都乘(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变.分式的基本性质：在分式的分子和分母上都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.口试40：请阐述中学数学教学内容中的数系扩展过程，并说明在这些扩展过程中原数系的运算封闭性的变化。封闭性：对于一个数集，如果其中任意两个数在进行一种运算后，结果仍在这个数集中，那么我们说这个数集对于这种运算是封闭的。自然数【加、乘】 - 整数【加、减、乘】（引入了负整数）- 有理数【加、减、乘、除】（引入了分数）- -实数【加、减、乘、除、开方】（引入了无理数）- 复数【加、减、乘、除、开方】（引入了虚数）口试41：中学数学中常用的降次方法有哪些？请举例说明。1、 配方 2、因式分解 3、公式法 4、直接开方 5、积化和差（三角公式）、半角公式 6、换元7、求导口试题42：归纳推理有哪两种？是否它们都可以作为证明方法？请举例说明归纳推理在初等数学中的一些应用。归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理是根据某类事物每一对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.不完全归纳推理是根据某类事物部分对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.完全归纳推理考察了某类事物的全部对象,不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系,把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理.口试43：在三角形中，有垂心，重心、外心和内心四个“心”的概念，请解释它们的含义，并说明在什么条件下三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心、外心和内心？三角形的垂心、重心、外心和内心一定在三角形内部吗？如果不一定，请说明什么条件下在内部，什么条件下在外部？垂心：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。重心：三角形三边中线的交点。外心：三角形三条边的垂直平分线的相点，即外接圆的圆心。内心：三角形三个内角平分线的交点，即内切圆的圆心。1、若三棱锥的侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。（一定在内部）2、若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。（底面为钝角三角形时，在外部；锐角三角形，在内部；直角三角形，斜边中点）3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。（一定在内部）垂心：钝角三角形时，在外部；锐角三角形，在内部；直角三角形，直角顶点。重心，内心：一定在内部。外心：钝角三角形时，在外部；锐角三角形，在内部；直角三角形，斜边中点。口试44：在中学数学教学内容中有一些常用的轨迹知识，请阐述所有与轨迹有关的命题。1、 和一个已知点的距离等于已知长的点的轨迹是以已知点为圆心，已知长为半径的圆。2、 和已知线段的两端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。3、 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线。4、 到已知直线的距离等于已知距离的点的轨迹，是平行这条直线且和这条直线的距离等于已知距离的两条直线。5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线距离相等的一条平行线。6、 和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。口试45：几何形状是几何的重要研究对象，请解释平面几何中与四边形有关的形状概念，并说明这些概念之间的关系。你认为理解和掌握这些关系对学生学习这些数学概念有哪些作用?平行四边形(包括:,普通平行四边形,矩形,菱形、正方形)在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。口试46：几何形状是几何的重要研究对象，请解释立体几何中与四棱柱有关的形状概念，并说明这些概念之间的关系。你认为理解和掌握这些关系对学生学习这些数学概念有哪些作用?棱柱：有两个平面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。四棱柱： 底面为四边形的棱柱是四棱柱。平行六面体：底面的是平行四边形的四棱柱。直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。 长方体：底面是矩形的直平行六面体。正方体：棱长都相等的长方体。口试47：在数学概念教学中，我们常常通过具体的例子来促进学生理解数学概念。其中，正例和反例在数学概念的学习中具有不同的作用，请说明它们的作用有什么不同。正例：1、归纳 2、有利于概括出概念的本质属性。反例：1.反例能正确理解概念 2.分清定理中条件的必要性和充分性3.纠正错误，克服思维定势 4.明确定理、法则、公式中条件的严密性5.推翻假命题的重要手段（直线与平面垂直判定定理）口试48：初中和高中的切线概念存在区别，它们之间的区别是显而易见的，你能说明它们之间有什么内在的联系吗？初中：。高中：曲线C是y=f(x) 的函数，P（x0,y0）,Q（x0+x,y0+y）当点Q沿曲线无限接近P点时，即x-0，割线有一个极限位置l，则直线l称为曲线C在P点的切线。说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线这种定义不适用于一般的曲线；（自己画图）PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线初中的切线概念不适用于一般曲线，但是我们可以用高中切线概念解释说明初中圆的切线。口试49：解释三角形全等与三角形相似之间的关系，并利用这种相似性来类比三角形全等的判定定理得到一些三角形相似的判定定理。全等是相似的一种特殊情况。研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性。1、由三角形全等的SSS得到2、由三角形全等的SAS得到3、由三角形全等的ASA得到口试50：请阐述类比推理的含义。类比直角三角形的勾股定理，在三棱锥中我们可以得到什么结论，并说明这个结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举出反例。含义：有两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一些对象也具有这些特征。特殊特殊在三角形ABC中，做AE垂直BC,垂足为E,连接DE.三垂线定理易得，DE垂直BC.三个侧面积的平方和（AB2*AD2+AC2*AD2+BC2*AE2）/4=AD2(AB2+AC2)+BC2*AE2)/4=(BC2*AD2+BC2*AE2)/4=BC2(AD2+AE2)/4=(BC*DE/2)2=三角形BCD面积的平方。得证。口试题51：比较两个集合大小的基本方法是什么?任何两个集合都可以比较大小吗？为什么？1)如果存在A到B的一个单射f: AB（也就是说A和B的一个子集有一一对应），那么我们称A的“基数”（或“势”）不大于B的“基数”，简称A不大于B，或A中元素个数不多于B中元素；2)如果存在A到B的一个一一对应f: AB，那么我们称A和B的“基数”相同，简称A和