高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题三数列第2讲数列的综合应用课件理

第2讲数列的综合应用 高考定位高考对本内容的考查主要有 1 通过适当的代数变形后 转化为等差数列或等比数列的问题 2 求数列的前n项和的几种方法 3 数列与函数 不等式 数论等知识结合的综合问题 题型一般为解答题 且为压轴题 真题感悟 2016 江苏卷 记U 1 2 100 对数列 an n N 和U的子集T 若T 定义ST 0 若T t1 t2 tk 定义ST at1 at2 atk 例如 T 1 3 66 时 ST a1 a3 a66 现设 an n N 是公比为3的等比数列 且当T 2 4 时 ST 30 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意正整数k 1 k 100 若T 1 2 k 求证 ST ak 1 3 设C U D U SC SD 求证 SC SC D 2SD 考点整合 1 数列求和常用方法 1 分组转化求和 把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 2 错位相减法 适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列 把Sn a1 a2 an两边同乘以相应等比数列的公比q 得到qSn a1q a2q anq 两式错位相减即可求出Sn 2 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式 比较大小或恒成立问题 解决方法如下 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后成等差比数列再求和 或者放缩后裂项相消法求和 探究提高 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用数列或数列对应函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 常利用放缩法或单调性法证明 3 当已知数列关系式时 需要知道其范围时 可借助数列的单调性 即比较相邻两项的大小即可 探究提高此类问题看似简单 实际复杂 思维量和计算量较大 难度较高 训练2 2011 江苏卷 设M为部分正整数组成的集合 数列 an 的首项a1 1 前n项的和为Sn 已知对任意的整数k M 当整数n k时 Sn k Sn k 2 Sn Sk 都成立 1 设M 1 a2 2 求a5的值 2 设M 3 4 求数列 an 的通项公式 解 1 由题设知 当n 2时 Sn 1 Sn 1 2 Sn S1 即 Sn 1 Sn Sn Sn 1 2S1 从而an 1 an 2a1 2 又a2 2 故当n 2时 an a2 2 n 2 2n 2 所以a5的值为8 探究提高分析已知条件和求解目标 确定最终解决问题需要首先求解的中间问题 如为求和需要先求出通项 为求出通项需要先求出首项和公差 公比 证明数列为等差或等比数列需要先证任意两项的差或比值为定值 证明充要条件需要证明充分性与必要性等 确定解题的逻辑次序 训练3 2014 江苏卷 设数列 an 的前n项和为Sn 若对任意的正整数n 总存在正整数m 使得Sn am 则称 an 是 H数列 1 若数列 an 的前n项和Sn 2n n N 证明 an 是 H数列 2 设 an 是等差数列 其首项a1 1 公差d 0 若 an 是 H数列 求d的值 3 证明 对任意的等差数列 an 总存在两个 H数列 bn 和 cn 使得an bn cn n N 成立 1 证明由已知 当n 1时 an 1 Sn 1 Sn 2n 1 2n 2n 于是对任意的正整数n 总存在正整数m n 1 使得Sn 2n am 所以 an 是 H数列 探究提高数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似 也是差比法或商比法 另外探索充要条件要从充分性 必要性两个方面判断与寻找 3 假设存在正整数m n n m 2 使得S2 Sm S2 Sn Sm成等比数列 则 Sm S2 2 S2 Sn Sm 即 m2 4 2 4 n2 m2 所以4n2 m2 2 2 12 即4n2 m2 2 2 12 即 2n m2 2 2n m2 2 12 因为n m 2 所以n 4 m 3 所以2n m2 2 15 因为2n m2 2是整数 所以等式 2n m2 2 2n m2 2 12不成立 故不存在正整数m n n m 2 使得S2 Sm S2 Sn Sm成等比数列 1 数列与不等式综合问题 1 如果是证明不等式 常转化为数列和的最值问题 同时要注意比较法 放缩法 基本不等式的应用 2 如果是解不等式 注意因式分解的应用 2 数列与函数的综合问题 1 函数条件的转化 直接利用函数与数列的对应关系 把函数解析式中的自变量x换为n即可 2 数列向函数的转化 可将数列中的问题转化为函数问题 但要注意函数定义域 3 数列中的探索性问题 处理探索性问题的一般方法是 假设题中的数学对象