高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题二函数导数不等式1_2_5导数的综合应用课件理新人教版

第五讲导数的综合应用 热点考向一利用导数研究较复杂函数的零点或方程的根命题解读 主要考查利用导数来判断函数的零点或方程根的个数 或者依据函数的零点 方程的根存在的情况求参数的值 或取值范围 三种题型都有可能出现 典例1 2016 开封一模 已知函数f x ax lnx 其中a为常数 1 当a 1时 求f x 的单调增区间 2 当0 e时 若f x 在区间 0 e 上的最大值为 3 求a的值 3 当a 1时 试推断方程 f x 是否有实数根 解题导引 1 先求函数f x 的定义域为 x x 0 再代入求导f x 从而确定函数的单调区间 2 令f x a 0 解得x 从而确定单调性及最值 进而求出a值 3 由 1 知当a 1时 f x max f 1 1 从而得 f x 1 再令g x 则g x 从而求最值即可 规范解答 1 由已知知函数f x 的定义域为 x x 0 当a 1时 f x x lnx f x 当00 当x 1时 f x 0 所以f x 的单调增区间为 0 1 2 因为f x a 令f x 0 解得x 由f x 0解得0 x 由f x 0 解得 x e 从而f x 的单调增区间为 减区间为 所以 f x max f 1 ln 3 解得a e2 3 由 1 知当a 1时 f x max f 1 1 所以 f x 1 令g x 则g x 当00 当x e时 g x 0 从而g x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 所以g x max g e g x 即 f x 所以 方程 f x 没有实数根 母题变式 1 若本例中函数在 0 上有两个零点 求实数a的取值范围 解析 因为f x a 当a 0时 f x lnx有一个零点 不符合要求 当a 0时 f x 0 函数f x 在 0 上单调递增 x 0时 f x 又f 1 a 0 故f x 在 0 上有且只有一个零点 不符合要求 当a0 f x 在上单调递增 当x 时f x 0 即 1 ln 0 解得 a 0 综上可知a的取值范围为 2 在 3 的条件下 判断曲线f x 与曲线 x x2 2x m公共点的个数 解析 由 3 知当a 1时 f x max 1 其图象如图所示 而y x x2 2x m x 1 2 m 1 其图象是以x 1为对称轴开口向上的抛物线 数形结合得当m 1 1 即m 0时 无公共点 规律方法 1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式 三角式及绝对值式结构函数零点的一般思路 1 转化为可用导数研究其函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点问题 2 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 3 结合图象求解 2 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式 三角式及绝对值结构方程根的个数问题的一般方法将问题转化为可用导数研究的某函数的零点问题或用导数能研究其图象的两个函数的交点个数问题求解 3 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步 利用导数证明该函数在该区间上单调 第二步 证明端点值异号 题组过关 1 2016 邯郸一模 已知函数f x x3 ax2 bx c有两个极值点x1 x2 若f x1 x1 x2 则关于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同实根的个数为 A 3B 4C 5D 6 解题指南 由函数f x x3 ax2 bx c有两个极值点x1 x2 可得f x 3x2 2ax b 0有两个不相等的实数根 必有 4a2 12b 0 而方程3 f x 2 2af x b 0的 1 0 可知此方程有两解且f x x1或x2 再分别讨论利用平移变换即可解出方程f x x1或f x x2解的个数 解析 选A 因为函数f x x3 ax2 bx c有两个极值点x1 x2 所以f x 3x2 2ax b 0有两个不相等的实数根 所以 4a2 12b 0 解得因为x1 x2 所以 而方程3 f x 2 2af x b 0的 1 0 所以此方程有两解且f x x1或x2 不妨取00 把y f x 向下平移x1个单位即可得到y f x x1的图象 因为f x1 x1 可知方程f x x1有两解 把y f x 向下平移x2个单位即可得到y f x x2的图象 因为f x1 x1 所以f x1 x2 0 可知方程f x x2只有一解 综上 可知 方程f x x1或f x x2只有3个实数解 即关于x的方程3 f x 2 2af x b 0只有3个不同的实根 2 2015 全国卷 已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 解析 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 即解得x0 a 因此 当a 时 x轴为曲线y f x 的切线 2 当x 1 时 g x lnx 0 从而h x min g x 0 故h x 在 1 无零点 当x 1时 若a 则f 1 a 0 h 1 min g 1 0 故x 1是h x 的零点 若a 则f 1 0 h 1 min f 1 0 故x 1不是h x 的零点 当x 0 1 时 g x lnx 0 所以只需考虑f x 在 0 1 的零点个数 i 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 上无零点 故f x 在 0 1 单调 而f 0 f 1 a 所以当a 3时 f x 在 0 1 有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 没有零点 综上 当a 或a 时 h x 有一个零点 当a 或a 时 h x 有两个零点 当 a 时 h x 有三个零点 加固训练 1 2016 广州一模 已知y f x 为R上的连续可导函数 且xf x f x 0 则函数g x xf x 1 x 0 的零点个数为 A 0B 1C 0或1D 无数个 解析 选A 由g x xf x 1 0得 xf x 1 x 0 设h x xf x 则h x f x xf x 因为xf x f x 0 所以h x 0 即函数在x 0时为增函数 因为h 0 0 f 0 0 所以当x 0时 h x h 0 0 故h x 1无解 故函数g x xf x 1 x 0 的零点个数为0个 2 2016 新乡三模 已知函数f x 关于x的不等式f2 x af x 0只有两个整数解 则实数a的取值范围是 解析 选C f x 所以f x 在上单调递增 上单调递减 所以f x max 又因为f 0 10只有两个整数解 所以 ln2 a ln6 即实数a的取值范围是 热点考向二利用导数解决生活中的优化问题命题解读 主要考查学生的数学建模能力 将现实生活中的问题转化为数学问题求解 利用导数的极值求出最值 以解答题为主 典例2 2016 开封一模 某商店商品每件成本10元 若售价为25元 则每天能卖出288件 经调查 如果降低价格 销售量可以增加 且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 15 的关系是t 6x2 1 将每天的商品销售利润y表示成x的函数 2 如何定价才能使每天的商品销售利润最大 解题导引 1 根据题意列出函数关系式即可 2 利用导数求函数的最大值即可解决 规范解答 1 设商品降价x元 记商品每天的获利为f x 则依题意得f x 25 10 x 288 6x2 15 x 288 6x2 6x3 90 x2 288x 4320 0 x 15 2 根据 1 有f x 18x2 180 x 288 18 x 2 x 8 当x变化时 f x 与f x 的变化如下表 故x 8时 f x 取得极大值 因为f 8 4704 f 0 4320 所以定价为25 8 17元能使一天的商品销售利润最大 规律方法 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 变式训练 2016 兰州一模 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元 每生产1万件需要再投入2万元 设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完 每万件的销售收入为4 x万元 且每万件国家给予补助万元 e为自然对数的底数 e是一个常数 1 写出月利润f x 万元 关于月产量x 万件 的函数解析式 2 当月产量在 1 2e 万件时 求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值 万元 及此时的月生产量值 万件 注 月利润 月销售收入 月国家补助 月总成本 解析 1 由月利润 月销售收入 月国家补助 月总成本 可得f x x 1 x2 2 e 1 x 2elnx 2 x 0 2 f x x2 2 e 1 x 2elnx 2的定义域为 1 2e 且f x 2x 2 e 1 1 x 2e 列表如下 由上表得 f x x2 2 e 1 x 2elnx 2在定义域 1 2e 上的最大值为f e 且f e e2 2 即 月生产量在 1 2e 万件时 该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f e e2 2 此时的月生产量值为e 万件 加固训练 1 为了响应政府推进 菜篮子 工程建设的号召 某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地 第一年支出各种费用8万元 以后每年支出的费用比上一年多2万元 每年销售蔬菜的收入为26万元 设f n 表示前n年的纯利润 f n 前n年的总收入 前n年的总费用支出 投资额 则f n 用n表示 从第 年开始盈利 解析 由题知 f n 26n 60 n2 19n 60 令f n 0 即 n2 19n 60 0 解得 4 n 15 所以从第5年开始盈利 答案 n2 19n 605 2 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解析 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 所以a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 令f x 0得x 4 函数f x 在 3 4 上单调递增 在 4 6 上单调递减 所以当x 4时函数f x 取得最大值f 4 42 所以 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 热点考向三利用导数解决不等式问题命题解读 主要考查利用函数的单调性求函数的最值的方法 证明不等式恒成立 或者根据不等式恒成立问题 存在性问题求参数值 或范围 比较大小 以解答题的形式出现 命题角度一利用导数解决不等式恒成立 存在性成立问题 典例3 2016 衡水二模 已知f x 2ln x 2 x 1 2 g x k x 1 1 求f x 的单调区间 2 当k 2时 求证 对于 x 1 f x 1 使得当x 1 x0 时 恒有f x g x 成立 试求k的取值范围 题目拆解 解答本题第 3 问 可拆解成三个小题 由 2 可知 k 2时 结论不成立 从而得出k 2 讨论当k 2时 是否有符合题设条件的k的取值 讨论当k 2时 是否有符合题设条件的k的取值 规范解答 1 f x 2 x 1 x 2 当f x 0时 x2 3x 1 所以f x 的单调增区间为 单调减区间为 2 设h x f x g x 2ln x 2 x 1 2 k x 1 x 1 当k 2时 由题意 当x 1 时 h x 0恒成立 h x 当x 1时 h x 1 f x g x 恒成立 3 因为h x 由 2 知 当k 2时 f x 1 2ln x 2 x 1 22时 对于x 1 x 1 0 此时2 x 1 k x 1 2ln x 2 x 1 2 2 x 1 k x 1 即f x h 1 0 即f x g x 0恒成立 综上 k的取值范围为 2 命题角度二利用导数证明不等式问题 典例4 2016 全国卷 设函数f x acos2x a 1 cosx 1 其中a 0 记 f x 的最大值为A 1 求f x 2 求A 3 证明 f x 2A 解题导引 1 利用求导法则及常见函数的求导公式直接求解 2 可按a的不同取值 分类讨论求解 3 利用 1 2 两题 求解即可 规范解答 1 f 2asin2x a 1 sinx 2 当a 1时 f x acos2x a 1 cosx 1 a a 1 2 3a 2 f 0 当0 a 1时 f x acos2x a 1 cosx 1 2acos2x a 1 cosx 1 令cosx t 1 1 则f x g t 2at2 a 1 t 1 其对称轴为t 3 由 1 得当0 a 时 1 a 2 4a 2 2 3a 2A 当 a 1时 A 所以当a 1时 3a 1 6a 4 2 3a 2 2A 综上所述 2A 规律方法 1 利用导数解决不等式恒成立问题的 两种 常用方法 1 分离参数法 第一步 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的最值 第三步 根据要求得所求范围 2 函数思想法 第一步 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的极值 最值 第三步 构建不等式求解 2 利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 1 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大 小 值满足的不等式成立问题 2 用导数求该函数在该区间上的最值问题 3 构建不等式求解 3 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 利用导数研究h x 的单调性或最值 4 根据单调性及最值 得到所证不等式 4 构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 A的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x1 x 4 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 题组过关 1 2016 南昌三模 已知f x x ex 又g x f2 x tf x t R 若满足g x 1的x有四个 则t的取值范围为 解析 选A f x xex 当x 0时 f x ex xex 0恒成立 所以f x 在 0 上为增函数 当x0 f x 为增函数 当x 1 0 时 f x ex x 1 0 f x 为减函数 所以函数f x xex 在 0 上有一个最大值为f 1 1 e 1 要使方程g x 1 即f2 x tf x 1 0 t R 有四个实数根 令f x m 则方程m2 tm 1 0应有两个不等根 且一个根在内 一个根在内 再令 m m2