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例1 已知某二次函数的图象经过点A 1 6 B 2 3 C 0 5 三点 求其函数关系式 分析 设 其图象经过点C 0 5 可得 再由另外两点建立关于的二元一次方程组 解方程组求出a b的值即可 解 设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C 0 5 又因为图象经过点A 1 6 B 2 3 故可得到 所求二次函数的解析式为 说明 当已知二次函数的图象经过三点时 可设其关系式为 然后确定a b c的值即得 本题由C 0 5 可先求出c的值 这样由另两个点列出二元一次方程组 可使解题过程简便 例2 已知二次函数的图象的顶点为 1 且经过点 2 0 求该二次函数的函数关系式 分析 由已知顶点为 1 故可设 再由点 2 0 确定a的值即可 说明 如果题目已知二次函数图象的顶点坐标 h k 一般设 再根据其他条件确定a的值 本题虽然已知条件中已设 但我们可以不用这种形式而另设这种形式 因为在这种形式中 我们必须求a b c的值 而在这种形式中 在顶点已知的条件下 只需确定一个字母a的值 显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式 例3 已知二次函数图象的对称轴是x 3 且函数有最大值为2 图象与x轴的一个交点是 1 0 求这个二次函数的解析式 分析 依题意 可知顶点坐标为 3 2 因此 可设解析式为顶点式 解 设这个二次函数的解析式为 图象经过 1 0 所求这个二次函数的解析式为 即 说明 在题设的条件中 若涉及顶点坐标 或对称轴 或函数的最大 最小值 可设顶点式为解析式 例4 已知 抛物线在x轴上所截线段为4 顶点坐标为 2 4 求这个函数的关系式 分析 由于抛物线是轴对称图形 设抛物线与x轴的两个交点为 x1 0 x2 0 则有对称轴 利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式 解 顶点坐标为 2 4 对称轴是直线x 2 抛物线与x轴两交点之间距离为4 两交点坐标为 0 0 4 0 设所求函数的解析式为 图象过 0 0 点 所求函数的解析式为 例5 已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的 且该抛物线经过点A 1 1 B 2 4 求其函数关系式 分析 设所求抛物线的函数关系式为 则由于它是抛物线经过平移而得到的 故a 2 再由已知条件列出b c的二元一次方程组可解本题 解 设所求抛物线的函数关系式为 则由已知可得a 2 又它经过点A 1 1 B 2 4 故 解得 所求抛物线的函数表达式为 说明 本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系 得到 例6 有一座抛物线形拱桥 正常水位时桥下水面宽度为20m 拱顶距离水面4m 1 在如图所示的直角坐标系中 求出该抛物线的解析式 2 在正常水位的基础上 当水位上升h m 时 桥下水面的宽度为d m 试求出用d表示h的函数关系式 3 设正常水位时桥下的水深为2m 为保证过往船只顺利航行 桥下水面的宽度不得小于18m 求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行 分析 1 拱桥是一个轴对称图形 对称轴为图中y轴 因此可知抛物线上一些特殊点坐标 用待定系数法可求解析式 2 当水位上升时 抛物线与水面交点在变化 设为 代入抛物线解析式可得d与h关系式 3 根据逆向思维可求水面宽度为18m 即d 18时 水位上升多少米 解 1 设抛物线的解析式为y ax2 且过点 10 4 故 2 设水位上升hm时 水面与抛物线交于点 则 3 当d 18时 当水深超过2 76m时会影响过往船只在桥下顺利航行 说明 要求抛物线的函数关系式 关键是确定其上的点的坐标 再选用适当的形式求其关系式 本题第 2 小题中 还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标 有两个 再比较这两点间的水平距离是否大于4 例7 求抛物线的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标 当x取何值时 y随x的增大而增大 当x取何值时 y随x的增大而减小 解 抛物线的顶点坐标是 1 2 对称轴是直线x 1 令 抛物线与y轴交点 0 令的解为 抛物线与x轴交于点 3 0 1 0 当时 y随x的增大而增大 当时 y随x的增大而减小 例8 已知抛物线如图所示 直线是其对称轴 1 确定a b c 的符号 2 求证 3 当x取何值时 当x取何值时 分析 1 由抛物线的开口向下 得a 0 由抛物线与y轴的交点在x轴上方 得c 0 由 由抛物线与x轴有两个不同的交点 得 2 由抛物线的顶点在x轴上方 对称轴为 当 例9 如图 半圆的直径AC 2 点B在半圆上 CB不与CA重合 F在AC上 且AE BC EF AC于F 设BC x EF y 求y与x的函数关系式和自变量的取值范围 并在直角坐标系中画出它的图象 分析 求几何图形中的函数关系式 通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式 可用几何的方法证 AEF ACB得到比例式求出y与x的函数关系式 解 AC是直径 B 90 又EF AC B AFE A A AEF ACB 当B为的中点时 E与B重合 此时 自变量x的取值范围是 它的图象如图所示 例10 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克 购进价格为每千克30元 物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元 也不得低于30元 市场调查发现 单价定为70元时 日均销售60千克 单价每降低1元 日均多售出2千克 在销售过程中 每天还要支出其它费用500元 天数不足一天时 按整天计算 设销售单价为x元 日均获利为y元 1 求y与x的二次函数关系式 并注明x的取值范围 2 将 1 中所求出的二次函数配方成的形式 写出顶点坐标 在如图所示的坐标系中画出草图 观察图象 指出单价定为多少元时日均获利最多 是多少 3 若将这种化工原料全部售出 比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式 哪一种获总利较多 多多少 分析 首先明确获利的含义 即每千克获利 销售单价 购进单价 其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分 在 3 中必须分别计算这两种销售方式的总获利 通过比较大小作答 解 1 若销售单价为x元 则每千克降低了 70 x 元 日均多售出2 70 x 千克 日均销售量为 60 2 70 x 千克 每千克获利 x 30 元 依题意得 顶点坐标为 65 1950 其图象如图所示 2 由 1 有 经观察