MATLAB超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布.docx

用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布 一、实验内容：=V100j试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。已知：，给定边值如图所示。给定初值：误差范围：计算迭代次数，分布。二实验设计原理：有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题换为求解网格节点上的差分方程组的问题。编程时已经考虑到题目要求，所以直接将边值编入到程序中，编写成function的M文件，这样只要调用此M文件，输入变量为迭代因子，即可输出电位矩阵和迭代次数。迭代时所用公式为 U2(i,j)=U1(i,j)+a*(U1(i,j+1)+U1(i+1,j)+U2(i-1,j)+U2(i,j-1)-4*U1(i,j)/4其中U2代表k+1，而U1代表k。以上分析了迭代程序的实现，但是迭代循环如何终止并未说明。题目中的误差范围=0.00001，即当两次迭代结果相差不超过时停止，这里必须是九点都满足不超过，而并不是其中某一点达到即可。当迭代次数过多时，程序会运行很长时间，（本题要求电位点数较少，不会出现迭代次数过多的情况。当然点数越多结果越精确。）当迭代因子a2时，迭代不收敛，程序会陷入死循环，因此需要限制循环次数，迭代100000次无结果则退出循环，防止程序崩溃。这样可以画出流程图如下所示：启动 输入迭代因子 迭代次数k=0 k=k+1 开始循环迭代函数判断相邻二次差值是否小于给定值 否 输出k,电位U1终止 是 三、程序运行界面及结果适当改变迭代因子a的值是否能够减少迭代次数？我做了如下试验:迭代因子a1.11.21.31.41.51.61.71.81.92迭代次数k1711141824324570151不收敛可见，这样的更改在a取合适的值的时候能带来迭代次数十分显著的减少，但什么样的a才是“合适的”值，因为当a太小时，每次迭代U不能获得足够的增量。而当a太大，则会使得增量过大，在超过目标值时需要更多的迭代次数来返回。那么是否有一种办法能够精确算出最合适的a值或者估计出较合适的a值。从多次实验看来，当a=2时计算总是不收敛，而a的最佳取值往往和网格的行列数有关。有资料给出了经验公式:a=21+(1-b2)，其中b=coslx+cosly2经过试验,该公式是有效的。 四源程序代码function U1,k = cff( a )%有限差分法计算电位lx=5;ly=5; %定义矩阵维数U1=zeros(ly,lx); %建立一个矩阵for j=2:lx-1 U1(1,j)=100;end %设置边界条件U2=U1;maxt=1;k=0;while(maxt100000) %达到精度要求跳出循环，限制迭代次数，防止死循环。k=k+1;maxt=0;for i=2:ly-1,for j=2:lx-1,U2(i,j)=U1(i,j)+a*(U1(i,j+1)+U1(i+1,j)+U2(i-1,j)+U2(i,j-1)-4*U1(i,j)/4; %用超松弛迭代法进行迭代计算t=abs(U2(i,j)-U1(i,j);if(tmaxt) maxt=t;endendendU1=U2;end end五实验心得与思考通过设计程序并进行完善调试，我对有限差分法有了进一步的认识，同时也已经掌握超松弛迭代法的运用。对于这一类题型都可以运用同样方法予以解决。使用MATLAB求解问题不仅可以得到电位分布矩阵，还可以绘制相应图形直观看出电位变化情况。这次的源程序是针对于特定题目编出的程序，如果边值条件