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文档简介

第十讲 满秩分解1. 定义：设，若存在矩阵及，使得则称上式为的满秩分解.说明：（1）为列满秩矩阵，即列数等于秩；为行满秩矩阵，即行数等于秩.（2）满秩分解不唯一:（阶可逆方阵），则 ，且.（3）当是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时，可分解为一个因子是单位矩阵，另一个因子是本身，即或，称此满秩分解为平凡分解.2. 定理1 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解.证：采用构造性证明方法.设，则存在初等变换矩阵（即初等矩阵的乘积），（即对进行初等行变换） 使 ， 其中将写成，并把分块成，其中， 是满秩分解. 证毕 例1. 求矩阵的满秩分解.解：对进行初等行变换，当所在的位置成为阶梯形矩阵时，则所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积.，所以 ，于是，可求得 ，于是有 .3. Hermite标准形（行最简形）定义 设，且满足（1）的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后行的元素全为零（称为零行）；（2）若中第行的第一个非零元素1在第列，则;（3）矩阵的第列，第列，第列恰为阶单位矩阵的前列（即列上除了前述的1外全为0），则称为Hermite标准形。例2. 为Hermite标准形；也是Hermite标准形.4. 满秩分解的一种简便求法定理2 设的Hermite标准形为，那么，在的满秩分解式中，可取为的列构成的矩阵，为的前行构成的矩阵.证： 由知，存在阶可逆矩阵，使得 或者 ， ，将分块为，可得满秩分解，其中为的前行构成的矩阵.下面确定列满秩矩阵.作阶置换矩阵 ，划分 ，则有，其中.再由可得，即为的前列构成的矩阵，也就是的列构成的矩阵. 证毕.例3. 求矩阵的满秩分解.解：（1）施行初等行变换将化为Hermite标准形(行最简形). ，于是的满秩分解为.例4. 求矩阵
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