高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_1 几何证明选讲 第2课时 圆的进一步认识课件 理 苏教版

14 1几何证明选讲 第2课时圆的进一步认识 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 圆周角与圆心角定理 1 圆心角定理 圆心角的度数等于 2 圆周角定理 圆周角的度数等于其所对弧的度数的 推论1 同弧 或等弧 所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角等于 反之 90 的圆周角所对的弧为半圆 或弦为直径 知识梳理 其所对弧的度数 一半 相等 90 2 圆的切线的性质及判定定理 1 判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的 2 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且与切线垂直的直线必经过 推论2 经过切点且与切线垂直的直线必经过 3 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 切线长 4 弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的 切线 半径 切点 圆心 相等 度数的一半 5 与圆有关的比例线段 PC PD BDP PC PD PDB PB PC PCA PB OPB 6 圆内接四边形的性质与判定定理 1 性质定理 圆内接四边形的对角 2 判定定理 如果四边形的对角互补 则此四边形内接于圆 互补 考点自测 1 2016 南通二模 如图 从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB C为切点 求证 AP BC AC CP 证明 因为PC为圆O的切线 所以 PCA PBC 又 CPA BPC 故 CAP BCP 2 2015 重庆 如图 圆O的弦AB CD相交于点E 过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 求BE的长 首先由切割线定理得PA2 PC PD CD PD PC 9 又CE ED 2 1 因此CE 6 ED 3 解答 3 2017 扬州质检 如图 ABC中 BC 6 以BC为直径的半圆分别交AB AC于点E F 若AC 2AE 求EF的长 A A AEF ACB 解答 4 如图 在 ABC中 ACB 90 A 60 AB 20 过C作 ABC的外接圆的切线CD BD CD BD与外接圆交于点E 求DE的长 解答 在Rt ACB中 ACB 90 A 60 ABC 30 AB 20 CD为切线 BCD A 60 由切割线定理得DC2 DE DB DE 5 题型分类深度剖析 题型一圆周角 弦切角和圆的切线问题 例1 2016 全国乙卷 如图 OAB是等腰三角形 AOB 120 以O为圆心 OA为半径作圆 1 证明 直线AB与 O相切 证明 2 点C D在 O上 且A B C D四点共圆 证明 AB CD 证明 因为OA 2OD 所以O不是A B C D四点所在圆的圆心 设O 是A B C D四点所在圆的圆心 作直线OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上 又O 在线段AB的垂直平分线上 所以OO AB 同理可证 OO CD 所以AB CD 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端作圆周角或弦切角 思维升华 跟踪训练1 1 2016 无锡模拟 如图所示 O的两条切线PA和PB相交于点P 与 O相切于A B两点 C是 O上的一点 若 P 70 求 ACB的大小 解答 如图所示 连结OA OB 则OA PA OB PB 2 如图 圆O的半径为1 A B C是圆周上的三点 且满足 ABC 30 过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P 求PA的长 解答 题型二四点共圆问题 例2如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 证明 1 证明 A P O M四点共圆 如图 连结OP OM 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 由 1 得 A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 因为圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 解答 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 思维升华 证明 跟踪训练2如图所示 四边形ABCD是 O的内接四边形 AB的延长线与DC的延长线交于点E 且CB CE 1 证明 D E 由题设知 A B C D四点共圆 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 证明 2 设AD不是 O的直径 AD的中点为M 且MB MC 证明 ADE为等边三角形 如图 设BC的中点为N 连结MN 则由MB MC知MN BC 故点O在直线MN上 又AD不是 O的直径 M为AD的中点 故OM AD 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE为等边三角形 题型三与圆有关的比例线段 例3 2015 陕西 如图 AB切 O于点B 直线AO交 O于D E两点 BC DE 垂足为C 1 证明 CBD DBA 因为DE为 O的直径 则 BED EDB 90 又BC DE 所以 CBD EDB 90 从而 CBD BED 又AB切 O于点B 得 DBA BED 所以 CBD DBA 证明 2 若AD 3DC BC 求 O的直径 解答 由 1 知BD平分 CBA 故DE AE AD 3 即 O的直径为3 1 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 2 相交弦定理 切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 思维升华 跟踪训练3 1 如图 已知圆中两条弦AB与CD相交于点F E是AB延长线上一点 且DF CF AF FB BE 4 2 1 若CE与圆相切 求线段CE的长 解答 2 2014 湖北 如图 P为 O外一点 过P点作 O的两条切线 切点分别为A B 过PA的中点Q作割线交 O于C D两点 若QC 1 CD 3 求PB的长 解答 由切割线定理得QA2 QC QD 4 解得QA 2 由切线长定理得PB PA 2QA 4 课时作业 1 2015 江苏 如图 在 ABC中 AB AC ABC的外接圆 O的弦AE交BC于点D 证明 求证 ABD AEB 因为AB AC 所以 ABD C 又因为 C E 所以 ABD E 又 BAE为公共角 可知 ABD AEB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2017 苏北四校联考 如图 AB是圆O的直径 C D是圆O上位于AB异侧的两点 证明 OCB D 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为B C是圆O上的两点 所以OB OC 故 OCB B 又因为C D是圆O上位于AB异侧的两点 故 B D为同弧所对的两个圆周角 所以 B D 因此 OCB D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2015 湖南 如图 在 O中 相交于点E的两弦AB CD的中点分别是M N 直线MO与直线CD相交于点F 证明 MEN NOM 180 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示 因为M N分别是弦AB CD的中点 所以OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四边形的内角和等于360 故 MEN NOM 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 如图 AB是圆O的直径 直线CE与圆O相切于点C AD CE于点D 若圆O的面积为4 ABC 30 求AD的长 解答 由题意可知圆O的半径为2 在Rt ABC中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 2016 苏锡常镇四市联考 如图 已知CB是 O的一条弦 A是 O上异于B C的任意一点 过点A作 O的切线交直线CB于点P D为 O上一点 且 ABD ABP 求证 AB2 BP BD 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AP与 O相切于点A AB为 O的弦 ADB PAB 又在 DBA和 ABP中 DBA ABP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2016 南京 盐城联考 如图 过 O外一点P作 O的切线PA 切点为A 连结OP与 O交于点C 过C作AP的垂线 垂足为D 若PA 12cm PC 6cm 求CD的长 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设 O的半径为r 由切割线定理得AP2 PC PC 2r 即122 6 6 2r 解得r 9 连结OA 则有OA AP 又CD AP 所以OA CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2016 苏州模拟 如图 已知AB是 O的直径 CD是 O的弦 分别延长AB CD相交于点M 点N在 O上 AN AC 证明 MDN 2 ACO 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图 连结ON 因为AN AC ON OC OA是公共边 所以 ANO ACO 故 OAC OAN 又 OAC ACO 所以 NAC OAC OAN ACO OAC 2 ACO 因为A C D N四点共圆 所以 MDN NAC 所以 MDN 2 ACO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2016 徐州模拟 如图 PA是圆O的切线 切点为A PA 2 AC是圆O的直径 PC与圆O交于点B PB 1 求圆O的半径R 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由切割线定理可得PA2 PB PC 所以BC PC PB 3 因为AC是圆O的直径 所以 ABC 90 所以AB2 BC BP 3 所以AC2 BC2 AB2 9 3 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 如图 ABC为圆的内接三角形 BD为圆的弦 且BD AC 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E AD与BC交于点F 若AB AC AE 6 BD 5 求线段CF的长 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设EB x 则ED x 5 由切割线定理知x x 5 62 x 4 AB AC ABC ACB 又 ACB ADB EAB ADB EAB ABC AE BC 又AC ED 四边形EBCA为平行四边形 AC EB 4 BC AE 6 由 AFC DFB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 2016 全国丙卷 如图 O中的中点为P 弦PC PD分别交AB于E F两点 解答 1 若 PFB 2 PCD 求 PCD的大小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 连结PB BC 则 BFD PBA BPD PCD PCB BCD 所以 BFD PCD 又 PFB