高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12_2古典概型课件理北师大版

12 2古典概型 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本事件的特点 知识梳理 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型 简称古典概型 1 试验的所有可能结果 每次试验只出现其中的一个结果 2 每一个试验结果出现的可能性 互斥 基本事件 只有有限个 相同 3 如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件A包括的结果有m个 那么事件A的概率P A 4 古典概型的概率公式 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在适宜条件下 种下一粒种子观察它是否发芽 属于古典概型 其基本事件是 发芽与不发芽 2 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 3 从市场上出售的标准为500 5g的袋装食盐中任取一袋 测其重量 属于古典概型 4 有3个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5 从1 2 3 4 5中任取出两个不同的数 其和为5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件A中基本事件构成集合A 且集合A中的元素个数为n 所有的基本事件构成集合I 且集合I中元素个数为m 则事件A的概率为 考点自测 1 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 答案 解析 基本事件的总数为6 2 2016 北京 从甲 乙等5名学生中随机选出2人 则甲被选中的概率为 答案 解析 3 2015 课标全国 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 答案 解析 4 从正方形四个顶点及其中心这5个点中 任取2个点 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 答案 解析 取两个点的所有情况为10种 所有距离不小于正方形边长的情况有6种 5 教材改编 同时掷两个骰子 向上点数不相同的概率为 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一基本事件与古典概型的判断 例1 1 有两颗正四面体的玩具 其四个面上分别标有数字1 2 3 4 下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验 用 x y 表示结果 其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数 y表示第2颗正四面体玩具出现的点数 试写出 试验的基本事件 解答 这个试验的基本事件为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件 解答 事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件为 1 3 1 4 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出现点数相等 包含的基本事件 事件 出现点数相等 包含的基本事件为 1 1 2 2 3 3 4 4 解答 2 袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 由于共有11个球 且每个球有不同的编号 故共有11种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 由于11个球共有3种颜色 因此共有3个基本事件 分别记为A 摸到白球 B 摸到黑球 C 摸到红球 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 思维升华 跟踪训练1下列试验中 古典概型的个数为 向上抛一枚质地不均匀的硬币 观察正面向上的概率 向正方形ABCD内 任意抛掷一点P 点P恰与点C重合 从1 2 3 4四个数中 任取两个数 求所取两数之一是2的概率 在线段 0 5 上任取一点 求此点小于2的概率 A 0B 1C 2D 3 答案 解析 中 硬币质地不均匀 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个 不是古典概型 符合古典概型的特点 是古典概型 题型二古典概型的求法 例2 1 2015 广东 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从袋中任取2个球 则所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 答案 解析 2 2015 江苏 袋中有形状 大小都相同的4只球 其中1只白球 1只红球 2只黄球 从中一次随机摸出2只球 则这2只球颜色不同的概率为 答案 解析 3 我国古代 五行 学说认为 物质分金 木 土 水 火五种属性 金克木 木克土 土克水 水克火 火克金 将这五种不同属性的物质任意排成一列 设事件A表示 排列中属性相克的两种物质不相邻 则事件A发生的概率为 答案 解析 引申探究1 本例 2 中 若将4个球改为颜色相同 标号分别为1 2 3 4的四个小球 从中一次取两球 求标号和为奇数的概率 解答 基本事件数仍为6 设标号和为奇数为事件A 则A包含的基本事件为 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 2 本例 2 中 若将条件改为有放回地取球 取两次 求两次取球颜色相同的概率 解答 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数 这就需要正确列出基本事件 基本事件的表示方法有列举法 列表法和树状图法 具体应用时可根据需要灵活选择 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 答案 解析 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中 余下2种种在另一个花坛 有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 红紫 黄白 黄白 红紫 共6种种法 其中红色和紫色不在一个花坛的种法有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 共4种 2 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 KK 解答 由题意知 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件A 则事件A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 解答 题型三古典概型与统计的综合应用 例3 2015 安徽 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况 随机访问50名职工 根据这50名职工对该部门的评分 绘制频率分布直方图 如图所示 其中样本数据分组区间为 40 50 50 60 80 90 90 100 解答 1 求频率分布直方图中a的值 因为 0 004 a 0 018 0 022 2 0 028 10 1 所以a 0 006 2 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率 解答 由所给频率分布直方图知 50名受访职工评分不低于80的频率为 0 022 0 018 10 0 4 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0 4 3 从评分在 40 60 的受访职工中 随机抽取2人 求此2人的评分都在 40 50 的概率 解答 受访职工中评分在 50 60 的有50 0 006 10 3 人 记为A1 A2 A3 受访职工中评分在 40 50 的有50 0 004 10 2 人 记为B1 B2 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型 已成为高考考查的热点 概率与统计结合题 无论是直接描述还是利用频率分布表 频率分布直方图 茎叶图等给出信息 只要能够从题中提炼出需要的信息 则此类问题即可解决 思维升华 跟踪训练3海关对同时从A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 解答 1 求这6件样品中来自A B C各地区商品的数量 因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以A B C三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 解答 设6件来自A B C三个地区的样品分别为 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为 A B1 A B2 A B3 A C1 A C2 B1 B2 B1 B3 B1 C1 B1 C2 B2 B3 B2 C1 B2 C2 B3 C1 B3 C2 C1 C2 共15个 每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 A B1 B2 B3 C1 C2 典例 12分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 1 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大于4的概率 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 求n m 2的概率 审细节更完善 审题路线图系列六 审题路线图 规范解答 1 基本事件为取两个球 两球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取两个球的所有结果列举出来 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 两球编号之和不大于4 注意 和不大于4 应为小于4或等于4 1 2 1 3 利用古典概型概率公式求解 2 两球分两次取 且有放回 两球的编号记录是有次序的 用坐标的形式表示 基本事件的总数可用列举法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 注意细节 m是第一个球的编号 n是第2个球的编号 n m 2的情况较多 计算复杂 将复杂问题转化为简单问题 计算n m 2的概率 n m 2的所有情况为 1 3 1 4 2 4 注意细节 P1 是n m 2的概率 需转化为其对立事件的概率 返回 解 1 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6个 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有 1 2 1 3 共2个 2 先从袋中随机取一个球 记下编号为m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为n 其一切可能的结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 6分 又满足条件n m 2的事件为 1 3 1 4 2 4 共3个 故满足条件n m 2的事件的概率为 返回 课时作业 1 2016 全国丙卷 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是M I N中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第一位是M I N中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 所以总的基本事件的个数为15 2 2016 威海模拟 从集合 2 3 4 5 中随机抽取一个数a 从集合 1 3 5 中随机抽取一个数b 则向量m a b 与向量n 1 1 垂直的概率为 答案 解析 由m n 得m n 0 即a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则满足m n的m有 3 3 5 5 共2个 3 2015 广东 已知5件产品中有2件次品 其余为合格品 现从这5件产品中任取2件 恰有一件次品的概率为A 0 4B 0 6C 0 8D 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 哈尔滨模拟 设a 1 2 3 4 b 2 4 8 12 则函数f x x3 ax b在区间 1 2 上有零点的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知f x 3x2 a 0 所以f x 在R上递增 若f x 在 1 2 上有零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 有编号分别为1 2 3 4 5的5个红球和5个黑球 从中随机取出4个 则取出球的编号互不相同的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 如图 三行三列的方阵中有九个数aij i 1 2 3 j 1 2 3 从中任取三个数 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示 从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点 可以看作随机选2个顶点 剩下的4个顶点构成四边形 有A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共15种 若要构成矩形 只要选相对顶点即可 有A D B E C F 共3种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 若A B为互斥事件 P A 0 4 P A B 0 7 则P B 答案 解析 0 3 因为A B为互斥事件 所以P A B P A P B 故P B P A B P A 0 7 0 4 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 成都模拟 如右图的茎叶图是甲 乙两人在4次模拟测试中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 依题意 记题中的被污损数字为x 若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩 则有 8 9 2 1 5 3 x 5 0 x 7 即此时x的可能取值是7 8 9 答案 解析 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 10件产品中有7件正品 3件次品 从中任取4件 则恰好取到1件次品的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求事件 a b 发生的概率 解答 由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法共36种 因为a b 所以m 3n 0 即m 3n 有 3 1 6 2 共2种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求事件 a b 发生的概率 解答 由 a b 得m2 n2 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 袋中装有黑球和白球共7个 从中任取2个球都是白球的概率为 现有甲 乙两人从袋中轮流摸球 甲先取 乙后取 然后甲再取 取后不放回 直到两人中有一人取到白球时即终止 每个球在每一次被取出的机会是等可能的 1 求袋中原有白球的个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 则n n 1 6 解得n 3 舍去n 2 即袋中原