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Homework 18, November 27, 20051. 在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者，A和B，两种商品，X和Y。交换初始，A拥有3个单位的X，2个，B有1个和6个Y。 他们的效用函数分别为：U(XA, YA)=XAYA, U(XB, YB)=XBYB. 求（1） 市场竞争均衡的（相对）价格和各人的消费量。（2） 表示帕累托最优分配的契约线的表达式。【解答】（1）竞争性均衡的求解一般分两步，类似博弈论中的倒推法。第一步，先给定均衡价格，求解各个消费者的最大化问题。第二步，再根据市场出清的条件求出均衡价格。不仅此题中两个消费者的纯交换经济可依此法，同时兼有生产者和消费者的经济也可以如法炮制。设p为商品x和商品y的相对价格，。（注意竞争性均衡中我们只能求出相对价格。）第一步，给定p，分别求解消费者A和B的最优化问题。消费者A最大化自己的效用：由Lagrange和一阶条件，我们得到消费者A对x和y的需求分别为：，类似地，消费者B的最大化问题为：消费者B的需求为：，第二步，根据市场出清的条件（即总需求等于总禀赋），求出竞争性均衡价格p。商品x的出清条件为：即从而竞争性均衡价格为，均衡消费量为：，。（注：瓦尔拉斯定律告诉我们，若经济中有n种商品，如果n-1种商品的市场已处于均衡，那么第n种商品的市场必也处于均衡。所以，此题只用求解商品x的市场均衡，商品y将自动处于均衡。）（2）契约线是帕累托最优分配的全集。帕累托最优分配可以理解为，给定对方效用不变差的情况下，使自己效用最大的最优消费组合。因此，可以这样来求解契约线。消费者A最大化如下问题：写出Lagrange函数：一阶条件为：得到。因此契约线可表示为，（即Edgeworth方盒中的对角线。）2 其它条件相同，如果A的效用函数为 U(XA, YA)=XA+YA，求一般均衡价格和契约线。【解答】（1）消费者A的效用函数为完全替代型。通过画图观察，我们可以判断竞争性均衡价格只可能为。下面只需要再求出均衡数量。因为消费者A的无差异曲线与价格线重合，我们只考虑消费者B的最大化问题。（此时已有。）根据Lagrange函数和一阶条件，得出均衡数量为：，（2）此题契约线包括两段，一段在方盒内部，用前面介绍的办法求解，另一段在方盒边界上，可以直接画图判断。（图请参见习题课ppt）考虑消费者B的如下最大化问题：我们得到，再加上边界的一段，契约线可以写成：3 其它条件相同，如果A的效用函数为 U(XA, YA)=Min（XA,YA），求一般均衡价格和契约线。【解答】（1）消费者A的效用函数为完全互补型。对A而言，竞争性均衡一定满足。在价格p下，消费者A的需求为：而消费者B的优化问题为
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