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椭圆的两个不变量在解题中的应用圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线，而关于椭圆本身存在很多的不变量，下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量，而且计算该不变量的方法以及不变量本身都在题目相当的实用。不变量：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点，为坐标原点，且满足,则为定值，并且原点到直线的距离也是定值证明：设，因为，不妨设向量逆时针旋转90度到向量这样的话我们有，设，则，的坐标分别是，在椭圆上将坐标代入方程可得，即，变形得，两式相加得（定值）原点到直线的距离=，根据可知，即，两边开方得（定值）其实这两个不变量可以看做是一个不变量，下面我们就来看看这两个不变量在解题中的精彩应用题目一：（2010陕西卷）如图，椭圆的顶点为 ，焦点为 ，（）求椭圆C的方程；（）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解：（I）由知， 由知a=2c， 又 ， 由解得，故椭圆C的方程为 （II）假设这样的直线存在，根据|=1，可得，这样由前面的“不变量”可知道因此假设不成立题目二：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点，为坐标原点，且满足，过点作直线的垂线，交于点，求点的轨迹 解：这个题目我们当然可以设直线方程然后解交点，这样不免麻烦而且计算量大不划算，当我们掌握了上述的两个不变量后，我们很容易知道是一个定长，很自然的点的轨迹就是圆题目三：椭圆 的左，右焦点分别为是椭圆上的一点，,原点到直线的距离为（1） 证明; （2） 求使下面命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点则 解：（1）因为原点到直线的距离为，则,不妨设，因为，故，,即，很容易知，即（2）第二问看起来是相当的复杂，其实质就是题目二中点的轨迹问题，说穿了就是“不变量”，就是我们需要的结果题目四：已知椭圆的中心在原点，焦点在上，直线与椭圆交于， 两点，（1） 求椭圆的方程；（2） 若，是椭圆上两点满足，求的最小值 解：（1）第一问基本方法联立直线与椭圆根据，建立等式，可求得椭圆的方程为 （2）设,根据“不变量”我们可知=则，立马可知，这样可知的最小值为注：掌握这两个“不变量”就可以解决椭圆中这一类的问题，而且只要出现这类问题用这两个“不变量”是一定可以解决的，这样既避免了计算的复杂度，而且我们看问题站在了另外一个高度，这样足以提高我
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