中考数学专题复习 专题提升（十）以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明课件

专题提升 十 以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明 把一张顶角为36 的等腰三角形纸片剪两刀 分成3张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 你能办到吗 请画示意图说明剪法 浙教版八上P66作业题第6题 解 如图 作 ABC的平分线 交AC于点D 在BA上截取BE BD 连接ED 则沿虚线BD DE剪两刀 分成的三个三角形都是等腰三角形 一以等腰三角形为背景的计算与证明 教材母题答图 思想方法 等腰三角形的性质常与线段的垂直平分线结合在一起说明线段相等 或者与三角形内角和定理结合在一起求角度 或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边的计算 1 2013 无锡 如图Z10 1 ABC中 AB AC DE垂直平分AB BE AC AF BC 则 EFC 图Z10 1 45 解析 DE垂直平分AB AE BE BE AC ABE是等腰直角三角形 BAC ABE 45 又 AB AC CBE ABC ABE 67 5 45 22 5 AB AC AF BC BF CF BF EF BEF CBE 22 5 EFC BEF CBE 22 5 22 5 45 2 2013 杭州 1 先求解下列两题 图Z10 2 如图Z10 2中图 点B D在射线AM上 点C E在射线AN上 且AB BC CD DE 已知 EDM 84 求 A的度数 2 解题后 你发现以上两小题有什么共同点 请简单地写出 解析 1 根据等边对等角及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标 再表示出点C的坐标 然后根据AC x轴可得点C D的纵坐标相同 从而表示出点D的坐标 再代入反比例函数解析式 2 从数学思想上考虑解答 解 1 AB BC CD DE A BCA CBD BDC ECD CED 根据三角形的外角性质 得 A BCA CBD A CDB ECD A CED EDM 又 EDM 84 A 3 A 84 解得 A 21 如图Z10 3 ABC中 BAC 90 AB AC 2 点D是BC上一动点 不与B C重合 在AC上取E点 使 ADE 45 1 求证 EDC BAD 2 当 ADE是等腰三角形时 求AE的长 图Z10 3 解 1 证明 BAC 90 AB AC 2 B C 45 ADE 45 B C ADE ADC为 ABD的外角 ADC ABD BAD 45 BAD 又 ADC ADE EDC 45 EDC EDC BAD 2 DAE BAC 90 ADE 45 当 ADE是等腰三角形时 第一种可能是AD DE 又 ABD DCE ABD DCE CD AB 2 如图Z10 4 在 ABC中 AD BC于点D E为AC上一点 且BF AC DF DC 求证 BE AC 浙教版八上P84作业题第5题 图Z10 4 二以直角三角形为背景的计算与证明 解析 由 ABC中 AD BC BF AC DF DC可得 BDF ADC 所以 DBF DAE 再由 BFD AFE 可得 DBF BFD DAE AFE 90 即证BE AC BDF ADC DBF DAE 又 BFD AFE DBF BFD DAE AFE 90 即BE AC 思想方法 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛 常与三角形全等知识结合使用 1 2014 金华 如图Z10 5 将Rt ABC绕直角顶点C顺时针旋转90 得到 A B C 连接AA 若 1 20 则 B的度数是 图Z10 5A 70 B 65 C 60 D 55 B 解析 Rt ABC绕直角顶点C顺时针旋转90 得到 A B C AC A C ACA 是等腰直角三角形 CAA 45 A B C 1 CAA 20 45 65 由旋转的性质得 B A B C 65 2 2013 义乌 如图Z10 6 AD BC于点D D为BC的中点 连结AB ABC的平分线交AD于点O 连结OC 若 AOC 125 则 ABC 图Z10 6 70 解析 AD BC AOC 125 C AOC ADC 125 90 35 D为BC的中点 AD BC OB OC OBC C 35 OB平分 ABC ABC 2 OBC 2 35 70 故答案为70 3 2013 邵阳 将一副三角板拼成如图Z10 7所示的图形 过点C作CF平分 DCE交DE于点F 1 求证 CF AB 2 求 DFC的度数 图Z10 7 解 1 证明 DCE 90 CF平分 DCE DCF 45 ABC是等腰直角三角形 BAC 45 BAC DCF CF AB 2 D 30 DFC 180 30 45 105 4 2013 内江 已知 如图Z10 8 ABC和 ECD都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 D为AB边上一点 求证 BD AE 图Z10 8 解 ABC和 ECD都是等腰直角三角形 AC BC CD CE ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 5 2013 菏泽 如图Z10 9 在 ABC中 AB CB ABC 90 D为AB延长线上一点 点E在BC边上 且BE BD 连结AE DE DC 1 求证 ABE CBD 2 若 CAE 30 求 BDC的度数 图Z10 9 解 1 证明 ABC 90 DBE 180 ABC 180 90 90 ABE CBD 在 ABE和 CBD中 ABE CBD 2 AB CB ABC 90 ABC是等腰直角三角形 ECA 45 CAE 30 BEA ECA EAC BEA 45 30 75 由 1 知 BDC BEA BDC 75 6 2014 重庆 如图Z10 10 在 ABC中 ACB 90 AC BC E为AC边的中点 过点A作AD AB交BE的延长线于点D CG平分 ACB交BD于点G F为AB边上一点 连接CF 且 ACF CBG 求证 1 AF CG 2 CF 2DE 图Z10 10 证明 1 ACB 90 CG平分 ACB AC BC CAB BCG 45 又 ACF CBG AC BC ACF CBG ASA AF CG CF BG 2 延长CG交AB于点H AC BC CG平分 ACB CH AB H为AB中点 又 AD AB CH AD G为BD中点 D EGC E为AC中点 AE EC 又 AED CEG AED CEG AAS DE EG DG 2DE BG DG 2DE 由 1 得CF BG CF 2DE 第6题答图 第一节数学课后 老师布置了一道课后练习 如图Z10 11 已知在Rt ABC中 AB BC ABC 90 BO AC于点O 点P D分别在AO和BC上 PB PD DE AC于点E 求证 BPO PDE 图Z10 11 1 理清思路 完成解答 本题证明的思路可以用下列框图表示 根据上述思路 请你完整地书写本题的证明过程 2 特殊位置 证明结论 若BP平分 ABO 其余条件不变 求证 AP CD 3 知识迁移 探索新知 若点P是一个动点 当点P运动到OC的中点P 时 满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D 请直接写出CD 与AP 的数量关系 不必写解答过程 解 1 证明 PB PD PBD 2 AB B