高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3_2 导数与函数的小综合课件 理 新人教a版

3 2导数与函数的小综合 知识梳理 考点自测 1 函数的单调性与导数的关系 1 已知函数f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内是 2 可导函数f x 在 a b 上单调递增 则有在 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在 a b 上单调递减 则有在 a b 上恒成立 4 若函数y f x 在区间 a b 内单调 则y f x 在该区间内 单调递增 单调递减 常数函数 f x 0 f x 0 不变号 知识梳理 考点自测 2 函数的极值一般地 当函数f x 的图象在点x0处连续时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 知识梳理 考点自测 3 函数的最值 1 图象在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 内可导 图象在 a b 上连续 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b f a f b 极值 f a f b 知识梳理 考点自测 1 若函数f x 的图象连续不断 则f x 在 a b 上一定有最值 2 若函数f x 在 a b 上是单调函数 则f x 一定在区间端点处取得最值 3 若函数f x 在区间 a b 内只有一个极值点 则相应的极值点一定是函数的最值点 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 如果函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 3 导数为零的点不一定是极值点 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 答案 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 6 答案 2 如图是函数y f x 的导函数f x 的图象 则下面判断正确的是 A 在区间 2 1 内 f x 是增函数B 在区间 1 3 内 f x 是减函数C 在区间 4 5 内 f x 是增函数D 在区间 2 3 内 f x 不是单调函数 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 3 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a A 4B 2C 4D 2 6 答案 解析 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 6 答案 解析 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 5 已知函数f x x3 ax2 3x在定义域上是增函数 则实数a的取值范围为 6 答案 解析 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 6 已知函数在x 1处取得极值0 则a b 6 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 1 当a 1时 求函数f x 的极值 2 讨论函数f x 的单调性 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 2 f x ex xex a x 1 x 1 ex a 当a 0时 ex a 0 由f x 0得x 1 即在 1 上 函数f x 单调递增 由f x 0时 令f x 0得x 1 或x lna 当lna 1 即a e 1时 无论x 1或x0 又f 1 0 即在R上 f x 0 从而函数f x 在R上单调递增 当lna0 x 1或x 1 即a e 1时 由f x x 1 ex a 0 x lna或x 1时 函数f x 单调递增 由f x x 1 ex a 0 1 x lna时 函数f x 单调递减 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间 解题心得1 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 对点训练1已知函数f x x2 2alnx a 2 x 当a 0时 讨论函数f x 的单调性 答案 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考向1利用函数单调性比较大小例2设函数f x 是定义在 0 2 上的函数f x 的导函数 f x f 2 x 当0 x 时 若f x sinx f x cosx 0 则 A a b cB b c aC c b aD c a b思考本例题如何根据条件比较三个数的大小 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 思考如何利用函数的单调性求参数的范围 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解题心得1 比较大小时 根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数 对新函数求导确定其单调性 再由单调性进行大小的比较 2 利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定 若可导函数f x 在指定的区间D上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 若已知函数不等式求参数范围 先求函数的导数 确定函数的单调性 再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式 解不等式得参数范围 也可以根据条件采取分离参数法 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 例4 2017全国 理11 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1B 2e 3C 5e 3D 1 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系 解题心得1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 则函数y f x 在 a b 内不是单调函数 反之 若函数y f x 在某区间上是单调函数 则函数y f x 在此区间上一定没有极值 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 3 利用导数研究函数极值的一般流程 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 答案 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 例5 2017河北衡水中学调研 理12 已知a b R 且ex a x 1 b对x R恒成立 则ab的最大值是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 思考求函数的最值可划分为哪几步 解题心得求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 对点训练4已知x 1是函数f x ax3 bx lnx a 0 b R 的一个极值点 则lna与b 1的大小关系是 A lna b 1B lna b 1C lna b 1D 以上都不对 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 例6若函数f x ax3 a 1 x2 x 2 0 x 1 在x 1处取得最小值 则实数a的取值范围是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 思考已知极值或最值如何求参数的范围 解题心得已知极值求参数 若函数f x 在点 x0 y0 处取得极值 则f x0 0 且在该点左 右两侧的导数值符号相反 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 对点训练5设函数 e是自然对数的底数 若f 2 是函数f x 的最小值 则a的取值范围是 A 1 6 B 1 4 C 2 4 D 2 6 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 1 函数y f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 内的任意子区间内都不恒等于零 则f x 0 f x 在 a b 内为增函数 f x 0 f x 在 a b 内为减函数 2 求可导函数极值的步骤 1 求定义域及f x 2 求f x 0的根 3 判定定义域内的根两侧导数的符号 4 下结论 3 求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 首先求出各极值及区间端点处的函数值 然后比较其大小 得结论 最大的就是最大值 最小的就是最小值 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 一个函数在其定义域内的最值是唯一的 最值可以在区间的端点处取得 4 解题时 要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题 处理好当f x 0时的情况 正确区分极值点和导数为0的点 高频小考点 导数法求参数的取值范围典例1若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 答案 C 典例2设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 答案 D A 6 6 B 4 4 C 2 2 D 1 1 答案 C 典例4若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 答案 D