第1章 概率论的基本概念.ppt

概率论与数理统计 教师 李佩彦e mail lipeiyan 办公室 六号楼415 参考书 概率论与数理统计 浙江大学盛骤等编高等教育出版社2 概率论与数理统计 科学出版社李书刚等编 序言 概率论的起源问题 1654年 一个赌徒向法国最权威的数学家Pascal提出一个问题 a b两个赌徒各下注30枚金币 约定谁先赢5局将获得全部赌金 在a赢4局 b赢3局时 此次赌博不得已而中断 问怎么分配赌金才算公平 概率论的发展简史 平分赌注问题 引起了Pascal的极大兴趣 他与法国另一位著名数学家Fermart进行不断的交流共同解决了此类问题 引出了概率论中一个重要的概念 数学期望 荷兰数学家Huygens研究了一系列的掷色子问题 1657年出版了 论机会游戏中的计算 最早的概率论专著 瑞士数学家Bernoulli解决了 赌徒输光 问题 并花费20年的时间证明了第一个大数定律 1713年 完成专著 猜度术 1812年 法国数学家Laplace发表了 分析的概率理论 古典概率的概念 但无法适用于一般的随机现象 暴露了现有理论的局限性 1933年 前苏联最伟大的数学Kolmogorov发表了 概率论基础 给出概率的一般定义 建立了概率理论的公理化体系 从此概率论成为一门严格的数学分支 概率统计的应用 气象 水纹 地震预报 人口控制等都离不了 概率论 这一工具 产品质量检查 生产方案设计 可靠性估计等都以 数理统计 为基本工具 股票 债券 期权的定价理论要用到 随机分析 研究太阳黑子的变化规律要用到 时间序列分析 第一章概率论的基本概念 随机试验样本空间 随机事件频率与概率等可能概型 古典概型 条件概率独立性 1随机试验 确定性现象随机现象 个别试验中结果不能确定 大量重复试验中其结果又具有统计规律性 统计规律性 大量重复试验中所呈现的固有规律性 P 8 具有以下特点的试验 称为随机试验1 可在相同条件下重复进行 2 试验可能结果不止一个 但能确定所有的可能结果 3 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现 随机试验可用字母E表示 E1 抛一枚硬币 分别用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 将一枚硬币连抛三次 考虑正反面出现的情况 E3 将一枚硬币连抛三次 考虑正面出现的次数 E4 掷一颗骰子 考虑可能出现的点数 E5 记录某城市120急救电台一昼夜接到的呼唤次数 E6 在一批灯泡中任取一只 测其寿命 E7 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 随机实验的例 随机实验 1 样本空间 实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间 记为S 2 样本点 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点 记为e EX 给出E1 E7的样本空间 2样本空间 随机事件 样本空间 随机事件 1 定义 样本空间S中具有某种性质的样本点组成的集合称为随机事件 简称事件 任何事件均可表示为样本空间的某个子集 由一个样本点e组成的单点集称为一个基本事件 记为 e 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 例 对于试验E2 以下A B C即为三个随机事件A 至少出一个正面 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH B 三次出现同一面 HHH TTT C 恰好出现一次正面 HTT THT TTH 再如 试验E6中D 灯泡寿命超过1000小时 x 1000 x T 小时 2 两个特殊事件 必然事件S 不可能事件 可见 可以用文字表示事件 也可以将事件表示为样本空间的子集 后者反映了事件的实质 且更便于今后计算概率还应注意 同一样本空间中 不同的事件之间有一定的关系 如试验E2 当试验的结果是HHH时 可以说事件A和B同时发生了 但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 易见 事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的 这种关系可以用集合之间的关系来描述 事件之间的关系与事件的运算 事件之间的关系 1 包含关系 A发生必导致B发生 记为A BA B A B且B A 2 和事件 事件A与B至少有一个发生 记作A B n个事件A1 A2 An至少有一个发生 记作 3 积事件 A与B同时发生 记作A B AB n个事件A1 A2 An同时发生 记作A1A2 An 4 差事件 A B称为A与B的差事件 表示事件A发生而B不发生 思考 何时A B 何时A B A 5 互斥的事件 AB 6 互逆的事件 A B S 且AB 1 交换律 A B B A AB BA2 结合律 A B C A B C AB C A BC 3 分配律 A B C AC BC AB C A C B C 4 对偶 德 摩根 律 事件的运算 例 甲 乙 丙三人各向目标射击一发子弹 以A B C分别表示甲 乙 丙命中目标 试用A B C的运算关系表示下列事件 Theend 从直观上来看 事件A的概率是指事件A在一次试验中发生的可能性的大小 P A 应具有何种性质 抛一枚硬币 币值面向上的概率为多少 掷一颗骰子 出现6点的概率为多少 出现单数点的概率为多少 3频率与概率 抛一枚硬币 以A表示事件 币值面向上 P A 定义 事件A在n次重复试验中出现nA次 则比值nA n称为事件A在n次重复试验中出现的频率 记为fn A 即fn A nA n 注 频率描述了事件A发生的频繁程度 频率大 事件A就发生频繁 这就意味着A在一次试验中发生的可能性就大 反之亦然 历史上曾有人做过试验 试图证明抛掷匀质硬币时 出现正反面的机会均等 实验者nnHfn H DeMorgan204810610 5181Buffon404020480 5069K Pearson1200060190 5016K Pearson24000120120 5005 频率的性质 1 0 fn A 1 2 fn S 1 fn 0 3 可加性 若AB 则fn A B fn A fn B 实践证明 当试验次数n增大时 fn A 逐渐趋向一个稳定值 将此稳定值记作P A 可将它作为事件A发生的概率 概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解 还是频率定义方式 作为事件的概率 都应具有前述三条基本性质 在数学上 我们就可以从这些性质出发 给出概率的如下公理化定义 定义若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A 均赋予一实数P A 集合函数P A 满足条件 1 非负性 P A 0 2 规范性 P S 1 3 可列可加性 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 1 1 则称P A 为事件A对应的概率 概率的性质 1 P 0 2 有限可加性 设A1 A2 An 是n个两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 n 则有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 3 事件差 A B是两个事件 则P A B P A P AB 特别地 若事件B A 则P A B P A P B 此时P A P B 4 对于任一事件A P A 1 5 互补性 P A 1 P A 6 加法公式 对任意两事件A B 有P A B P A P B P AB 该公式可推广到任意n个事件A1 A2 An的情形 7 可分性 对任意两事件A B 有P A P AB P AB 例1某市有甲 乙 丙三种报纸 订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30 其中有10 的人同时定甲 乙两种报纸 没有人同时订甲丙或乙丙报纸 求从该市任选一人 他至少订有一种报纸的概率 解 设A B C分别表示选到的人订了甲 乙 丙报 例2在1 10这10个自然数中任取一数 求 1 取到的数能被2或3整除的概率 2 取到的数即不能被2也不能被3整除的概率 3 取到的数能被2整除而不能被3整除的概率 解 设A表示 取到的数能被2整除 B表示 取到的数能被3整除 则 故 练习 设A B是任意事件 P A 0 7 P B 0 5 求P A B 的最大可能值和最小可能值 设A B C是任意事件 P A P B P C 1 4 P AB P AC 0 P BC 1 8 求A B C全不发生的概率 若某实验E满足1 有限性 样本空间S e1 e2 en 2 等可能性 公认 P e1 P e2 P en 则称E为古典概型也叫等可能概型 等可能概型 古典概型 设事件A中所含样本点个数为N A 以N S 记样本空间S中样本点总数 则有 对于古典概型 P A 具有如下性质 1 0 P A 1 2 P S 1 P 0 3 AB 则P A B P A P B 古典概型中的概率 例 有三个子女的家庭 设每个孩子是男是女的概率相等 则至少有一个男孩的概率是多少 解 设A 至少有一个男孩 以H表示某个孩子是男孩 S HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT A HHH HHT HTH THH HTT TTH THT 显然该试验是古典概型 因此 二 古典概型的几类基本问题 乘法公式 设完成一件事需分两步 第一步有n1种方法 第二步有n2种方法 则完成这件事共有n1n2种方法 复习 排列与组合的基本工具 加法公式 设完成一件事可有两种途径 第一种途径有n1种方法 第二种途径有n2种方法 则完成这件事共有n1 n2种方法 有重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 记录其结果后放回 将记录结果排成一列 n n n n 共有nk种排列方式 无重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 取后不放回 将所取元素排成一列 共有Pnk n n 1 n k 1 种排列方式 n n 1 n 2 n k 1 组合 从含有n个元素的集合中随机抽取k个 共有 种取法 分组问题 有n个元素 分成k个小组 k n 其中第i组有个元素 i 1 2 k 有 种分法 1 抽球问题例1 一口袋中有 只球 其中 只白球 只红球 从袋中取球两只 考虑两种取球方式 a 有放回抽取 b 无放回抽取 试分别就这两种情况分别求 取到的两只球都是白球的概率 取到的两只球颜色相同的概率 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 一般地 设合中有N个球 其中有M个白球 现从中任抽n个球 此即表明是无放回抽取 则这n个球中恰有k个白球的概率是 见课本例 4 在实际中 产品的检验 疾病的抽查 农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题 见课本例4 我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出 而不必过多的交代实际背景 2 分球入盒问题例2 将3个球随机的放入3个盒子中去 问 1 每盒恰有一球的概率是多少 2 空一盒的概率是多少 解 设A 每盒恰有一球 B 空一盒 则 故 一般地 把n个球随机地分配到N个盒子中去 n N 则每盒至多有一球的概率是 某班级有n个人 n 365 问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大 P 15 3 抽签问题例 袋中有a只白球 b只红球 k k a b 个人依次在袋中取一只球 作放回抽样 作不放回抽样 求第i i 1 2 k 人取到白球的概率 可将此问题看作是抽签模型 由此可知 抽签结果与顺序无关 与有无放回也无关 这一重要结论 抽签的合理性 练习 设有n张戏票 其中k张甲级票 若n个人依次抽取 每人一张 求证 每个人抽得甲级票的概率相等 都为 分组问题例 30名学生中有3名运动员 将这30名学生平均分成3组 求 1 每组有一名运动员的概率 2 3名运动员集中在一个组的概率 见课本例 7 5随机取数问题 例5从1到200这200个自然数中任取一个 1 求取到的数能被6整除的概率 2 求取到的数能被8整除的概率 3 求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 4 求取到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率 袋中有十只球 其中九只白球 一只红球 十人依次从袋中各取一球 不放回 问第一个人取得红球的概率是多少 第二个人取得红球的概率是多少 条件概率 若已知第一个人取到的是白球 则第二个人取到红球的概率是多少 已知事件A发生的条件下 事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率 记作P B A 若已知第一个人取到的是红球 则第二个人取到红球的概率又是多少 一 条件概率例1将一枚硬币抛掷两次 观察其出现正反面的情况 设事件A为 至少出现一次正面H 事件B为 两次抛出同一面 现在求 1 事件B发生的概率 2 已知事件A发生的条件下事件B发生的概率 解 S HH HT TH TT A HH HT TH B HH TT AB HH 总结 若事件A B是古典概型的样本空间S中的两个事件 其中A含有nA 0个样本点 AB含有nAB个样本点 则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 定义 设A B是S中的两个事件 若P A 0 则 条件概率 是 概率 吗 何时P A B P A 概率定义若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A 均赋予一实数P A 集合函数P A 满足条件 1 P A 0 2 P S 1 3 可列可加性 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 则称P A 为事件A的概率 例2 一盒中混有100只新 旧乒乓球 各有红 白两色 分类如下表 从盒中随机取出一球 若取得的是一只红球 试求该红球是新球的概率 A B 例3 见课本例2 P 20 二 乘法公式 设A B S P A 0 则P AB P A P B A 此即为事件A B的概率乘法公式 该式还可推广到三个事件的情形 P ABC P A P B A P C AB 一般地 有下列公式 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 例4盒中有3个红球 2个白球 每次从袋中任取一只 观察其颜色后放回 并再放入一只与所取之球颜色相同的球 若从盒中连续取球4次 试求第1 2次取得白球 第3 4次取得红球的概率 例5设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下时打破的概率为1 2 若第一次落下未打破 第二次落下打破的概率为7 10 若前两次落下未打破 第三次落下打破的概率为9 10 试求透镜落下三次而未打破的概率 课本例4 三 全概率公式和贝叶斯公式 例6 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B 定义事件组A1 A2 An n可为 称为样本空间S的一个划分 若满足 A1 A2 An B 定理1 设A1 An是S的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B有 该式称为全概率公式 例7有甲乙两个袋子 甲袋中有两个白球 1个红球 乙袋中有两个红球 一个白球 这六个球手感上不可区别 今从甲袋中任取一球放入乙袋 搅匀后再从乙袋中任取一球 问此球是红球的概率 甲 乙 定理2 设A1 An是S的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 该式就称为贝叶斯公式 思考 上例中 若已知取到一个红球 则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少 例8对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为98 而当机器发生某种故障时 其合格率为55 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为95 试求已知某日早上第一件产品是合格时 机器调整得良好的概率是多少 例9数字通讯过程中 信源发射0 1两种状态信号 其中发0的概率为0 55 发1的概率为0 45 由于信道中存在干扰 在发0的时候 接收端分别以概率0 9 0 05和0 05接收为0 1和 不清 在发1的时候 接收端分别以概率0 85 0 05和0 1接收为1 0和 不清 现接收端接收到一个 1 的信号 问发端发的是0的概率是多少 0 067 解 设A 发射端发射0 B 接收端接收到一个 1 的信号 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 条件概率 条件概率小结 缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 独立性一 两事件独立 定义1设A B是两事件 若P AB P A P B 则称事件A与B相互独立 定理一显然 如果P A 0 则该式也等价于 P B A P B 例1 设试验E为 抛甲 乙两枚硬币 观察正反面出现的情况 设事件A为 甲币出现正面 事件 为 乙币出现正面 问A与B是否独立 练习 从一付52张的扑克牌中任意抽取一张 以A表示抽出一张A 以B表示抽出一张黑桃 问A与B是否独立 定理二 若事件A B相互独立 则有 1 事件A B相互独立 2 事件A B相互独立 3 事件A B相互独立 两个事件相互独立的性质 1 若有 A 1 则 与任何事件相互独立 2 若有P A 0 则 与任何事件相互独立 3 若有P A 0 P B 0 且 与 互不相容则 与 必定不独立 事件之间的互不相容是单纯的从集合论的角度描述事件之间的隶属关系 而事件之间的相互独立则是从概率的角度说明事件之间的关系 二 多个事件的独立 定义2 若三个事件A B C满足 1 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B