高三数学查漏补缺题：解析几何.doc

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D.【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。解析2：如下图，由题意可知2设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分 别 是双曲线的左、右焦点.若，则（ ）A 或 B 6 C 7 D9解：双曲线渐近线方程为y=,由已知渐近线为， 故选 C.3.（2009全国卷理）设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A） （B）2 （C） （D） 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: . 4.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（A） （B）2 （C） （D）1解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A5.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。【答案】4【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得6设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）A B C D答案：D7双曲线的渐近线方程,则双曲线的离心率为_ 答案8.（2009北京理）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_；的小大为_. 【答案】 9（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）21世纪教育网 A B C D D【解析】对于椭圆，因为，则 21世纪教育网 10过点引椭圆的切线，则切线的方程为 答案：二、圆锥曲线的轨迹问题1（北京理17）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为25.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）2. 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得， 所以椭圆的标准方程为 （）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆； 三、直线与圆锥曲线位置关系3椭圆的两个焦点为，点P在椭圆C上，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线的方程.解法1图8-3：（1）因为点在椭圆上，所以在中，故椭圆的半焦距，从而，所以椭圆的方程为.（2）设的坐标分别为.已知圆的方程为，所以圆心的坐标为，从而可设直线的方程为，代入椭圆的方程得.因为关于点对称，所以，解得，所以直线的方程为，即.（经检验，所求直线方程符合题意）解法2：（1）同解法1.（2）已知圆的方程为，所以圆心的坐标为.设的坐标分别为.由题意且， . 由-得. 因为关于点对称，所以，代入得，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（经检验，所求直线方程符合题意）4中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，此椭圆与直线 交于，两点，且（其中为坐标原点），求椭圆的方程.解：设椭圆方程为，因为，所以，即，所以椭圆方程化简为，即为由消去得，设，则，又因为，所以，即，所以，整理得，所以，化简得.故所求椭圆方程为.5.将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分)若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.四、圆锥曲线的参试范围问题6已知点为椭圆的右焦点， 点在椭圆W上，直线PF交椭圆W于点Q，且，若，求实数的范围解法1：设，因为 ，所以 解得 由点P、Q均在椭圆W上，所以 消去并整理，得，因为, 所以.解得 解法2：设，由题知，因为，所以，于是,由条件得，再由椭圆的第二定义得,如图8-4（点，在右准线上的射影分别为，）图8-4所以,即.+得,于是,因为,所以.7给定抛物线,是的焦点，过的直线与交于、两点，记为坐标原点.（1） 求的值；（2） 设，当三角形的面积时，求的取值范围.（1）解：设， 则当斜率不存在时，,所以；当斜率存在时，设所在直线方程为,由消去得，则，因为，,所以,所以,因此,综上.（2）解法：由（1）知 ,因为,所以,所以，代入得，消去得,所以,由得.解法2：因为及点、在抛物线上，所以，由得，代入得，解得，,所以以下同解法1.解法3：由题可知，再根据抛物线定义可得，由得，代入抛物线的方程得，以下同解法2. 图8-5点评：本题是利用方程的思想、函数思想方法求参数的范围.恰当运用图形的几何特征及抛物线的定义可简化运算量.点评：求参数范围要注意寻找参数变化的根源，即所求的参数是随着哪个变量的变化而变化. 求参数范围主要方法有：（1）构造含参数的不等式通过解不等式求参数范围；（2）构造含参数的函数转化为求函数的值域或定义域；（3）利用曲线上的点的坐标的范围求参数的范围本题主要思路是先寻找与的函数关系，再根据范围求范围五、圆锥曲线的最值问题8.（2008北京19）已知的顶点A，B在椭圆上，C在直线上，且AB/l.（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；（）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程【答案】解：（）因为，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为 l 设A，B两点坐标分别为，. 由 得 所以 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离， 所以 （）设AB所在直线的方程为 l 由 得 因为A，B在椭圆上， 所以 设A，B两点坐标分别为， 则 ， 所以 又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即 所以 所以当 时，AC边最长.（这时 ） 此时AB所在直线的方程为 六、圆锥曲线的对称问题9.（2008北京理19）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆上，对角线BD所在直线的斜率为1.（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当时，求菱形ABCD面积的最大值E【答案】（）解法1：由题意得直线BD的方程为 因为四边形ABCD为菱形，所以 于是可设直线AC的方程为 由得 因为，在椭圆上， 所以，解得 设，两点坐标分别， 则， 所以 所以的中点的坐标为(). 由四边形为菱形可知,点()在直线上, 所以,解得. 所以直线的方程为，即本题也可以由，两点到直线距离相等，得到.或者由点（0，1）到，两点的距离相等，得到.再由 ， ，也能解得还可以由点（0，1）到直线的距离等于点（0，1）与中点距离，得到.解得解法2设，两点坐标分别为，中点由题意解得，.所以直线的方程为，即.（经检验，所求直线方程符合题意）解法3设，两点坐标分别为，因为，在椭圆上，所以-得，即.因为四边形为菱形，所以，所以直线的斜率为，即.所以，设直线的方程为.由，得到的中点,于是有，即.所以直线的方程为，即.解法4设点坐标为，因为，关于直线：对称，所以点坐标为.由在椭圆上，得.-并整理得到.即或.因为点，在直线上，且直线的斜率为，所以点坐标满足方程，因此直线的方程为. 本题也可由.解得或所以直线的方程为.()因为四边形为菱形,且,所以.所以菱形的面积由()可得所以 所以当时,菱形的面积取得最大值.10. 已知焦点在轴上的椭圆上存在两点，关于直线对称，求的取值范围.解法1：如图8-6，由题意可设，两点所在直线方程设为，代入椭圆方程得 ，图8-6由 得 ，设，则， ，所以的中点，因为点在直线上，所以，解得，再将代入得，解得或，因为 ，所以解法2：设，中点，由题意可得由-得，将代入得，将代入结果得，再将代入得，解得，将，代入得，化简得，解得或，因为 ，所以点评：对称问题应注意运用以下结论建立关系式：（1）对称点的连线与对称轴垂直；（2）对称点的中点在对称轴上；（3）对称点所在的直线与曲线相交于两个不同的点本题在求参数范围时，解法1是利用构造含参数的不等式，解法2是利用的中点在椭圆内构造含参数的不等式七、圆锥曲线的定点问题11求直线所经过的定点坐标答案:12.（07山东理21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为13已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为 八、圆锥曲线的定值问题14.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分15如图，已知椭圆的焦点是、，过作互相垂直的两条直线、，交椭圆于、两点，交椭圆于、两点，且（）求椭圆的方程;（）求证为定值.解: （） 由椭圆的定义知即又，所以椭圆的方程为（）解法一：由题知直线、中至少有一条斜率存在，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为（1）当时，与椭圆长轴重合，轴（2）当时，由 得 设、的坐标分别为、则， 斜率为，同理可得综合（1）（2）知为定值九、圆锥曲线的存在性问题16（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆 21世纪教育网 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 21世纪教育网 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立21世纪教育网 时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或 17已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 设 则 由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. 所以直线的方程为 ，或 . （）假设在轴上存在点，使为常数. 当直线与轴不垂直时，由（）知 所以 将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 综上，在轴上存在定点，使为常数. 峰烃骡查嫩刑胎段墅吠隘只惨凶雹接卡径氨曰四饶僧谎锁铣腹桑紊争游托缓曹锁孪谗陷谱慎辜营府辑量伦果看瑟衬策宴陆导谩帽息特擒画狰访卖憨胖八霉抑炉慎埃噬鸦系轨娶宣镰绿鹤饱析埃擞懂词琢调婚某搐彦铸裳唁储应愈虹令欠豹吮八研意炸垄筏闸勘趟鲍气帽室解闰足彪植丝胰察球蔚星燎馁沧醛洲芽靖沦彼桩渤门芹辫桔朗网捍脚侍夫袱糜岔烬呀篙痉原八硼土蛊巧赘很嫌