高中数学第二章圆锥曲线与方程2_5直线与圆锥曲线课件新人教b版选修2_1

第二章2 5直线与圆锥曲线 1 通过类比直线与圆的位置关系 学会判断直线与椭圆 双曲线 抛物线的位置关系 2 会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长 以及直线与圆锥曲线的综合问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一直线与圆锥曲线的位置关系 观察图形 思考下列问题 思考1 上面三个图象中直线l与椭圆 抛物线 双曲线的图象的位置关系是什么 答案 相交 相切 相离 思考2 直线与抛物线 双曲线只有一个公共点时 是否一定相切 答案 不一定 当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点 但此时直线与双曲线 抛物线相交 梳理 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立 消元得方程ax2 bx c 0 知识点二弦长公式 若直线l y kx b与圆锥曲线交于两点A x1 y1 B x2 y2 则弦长 AB 题型探究 类型一直线与圆锥曲线的位置关系判定 例1已知直线l y 2x m 椭圆C 试问当m取何值时 直线l与椭圆C 1 有两个不重合的公共点 解答 直线l的方程与椭圆C的方程联立 得方程组 将 代入 整理得9x2 8mx 2m2 4 0 这个关于x的一元二次方程的判别式 8m 2 4 9 2m2 4 8m2 144 方程 有两个不同的实数根 可知原方程组有两组不同的实数解 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点 2 有且只有一个公共点 解答 由 0 得m 3 也就是当m 3时 方程 有两个相同的实数根 可知原方程组有两组相同的实数解 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点 3 没有公共点 解答 由 3 从而当m3时 方程 没有实数根 可知原方程组没有实数解 这时直线l与椭圆C没有公共点 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时 要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况 再考虑 的情况 而且不要忽略直线斜率不存在的情形 反思与感悟 答案 跟踪训练1已知双曲线x2 1 直线l过点P 1 1 当k为何值时 直线l与双曲线C 1 有一个公共点 解析 设直线l y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 k2 2 x2 2k k 1 x k2 2k 3 0 当k2 2 0 即k 时 式只有一解 直线l与双曲线相交 只有一个公共点 当k2 2 0时 24 16k 若 0 即k 方程 只有一解 直线与双曲线相切 只有一个公共点 若 0 即k 方程 无解 直线与双曲线无公共点 答案 2 有两个公共点 解析 设直线l y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 k2 2 x2 2k k 1 x k2 2k 3 0 当k2 2 0 即k 时 式只有一解 直线l与双曲线相交 只有一个公共点 当k2 2 0时 24 16k 若 0 即k 方程 只有一解 直线与双曲线相切 只有一个公共点 若 0 即k 方程 无解 直线与双曲线无公共点 答案 3 无公共点 解析 设直线l y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 k2 2 x2 2k k 1 x k2 2k 3 0 当k2 2 0 即k 时 式只有一解 直线l与双曲线相交 只有一个公共点 当k2 2 0时 24 16k 若 0 即k 方程 只有一解 直线与双曲线相切 只有一个公共点 若 0 即k 方程 无解 直线与双曲线无公共点 类型二中点弦及弦长问题 例2已知点A 1 0 B 1 0 直线AM BM相交于点M 且kMA kMB 2 1 求点M的轨迹C的方程 解答 2 过定点 0 1 作直线PQ与曲线C交于P Q两点 且 PQ 求直线PQ的方程 解答 当直线PQ的斜率不存在 即PQ是椭圆的长轴时 其长为2 显然不合题意 即直线PQ的斜率存在 设直线PQ的方程是y kx 1 P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2 k x1 x2 4k2 4 k2 2 8 k2 1 0 k R 反思与感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程 利用弦长公式和根与系数的关系解决 要考虑特殊情形 对于中点弦问题可采用点差法 但要验证得到的直线适合题意 跟踪训练2中心在原点 对称轴为坐标轴的椭圆与直线x y 1 0相交于A B C是AB中点 若 AB 2 OC的斜率为 求椭圆的方程 解答 设椭圆方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 设A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程并作差得 a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 其中x1 x2是方程 a b x2 2bx b 1 0的两根 类型三圆锥曲线中的最值及范围问题 例3如图所示 在直角坐标系xOy中 点P 1 到抛物线C y2 2px p 0 的准线的距离为 点M t 1 是C上的定点 A B是C上的两动点 且线段AB的中点Q m n 在直线OM上 1 求曲线C的方程及t的值 解答 抛物线C的方程为y2 x 又点M t 1 在曲线C上 t 1 2 记d 求d的最大值 解答 由 1 知 点M 1 1 从而n m 即点Q m m 依题意 直线AB的斜率存在 且不为0 设直线AB的斜率为k k 0 且A x1 y1 B x2 y2 即x 2my 2m2 m 0 整理得y2 2my 2m2 m 0 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1y2 2m2 m 反思与感悟 1 求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系 再求参数范围 2 求最值问题的方法 几何法题目中给出的条件有明显的几何特征 则考虑用图象来解决 代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数 再求这个函数的最值 求最值的常见方法是均值不等式法 单调性法等 跟踪训练3如图 过抛物线y2 x上一点A 4 2 作倾斜角互补的两条直线AB AC交抛物线于B C两点 求证 直线BC的斜率是定值 证明 设kAB k k 0 直线AB AC的倾斜角互补 kAC k k 0 AB的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 A 4 2 B xB yB 是上述方程组的解 直线BC的斜率为定值 当堂训练 直线y kx 1恒过 0 1 点 若5 m 则 1 若5 m 则必有公共点 m 1且m 5 1 若直线y kx 1与椭圆总有公共点 则m的取值范围是A m 1B m 1或0 m 1C 0 m 5且m 1D m 1且m 5 答案 解析 1 2 3 4 5 2 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点坐标为A 1 2 B 0 0 C D 1 4 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 因为y 4x2与y 4x 5不相交 设与y 4x 5平行的直线方程为y 4x m 设此直线与抛物线相切 有 0 即 16 16m 0 m 1 1 2 3 4 5 3 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B两点 O为坐标原点 则 OAB的面积为 答案 解析 由已知可得直线方程为y 2x 2 联立方程得方程组 1 2 3 4 5 4 过点A 6 1 作直线l与双曲线相交于两点B C 且A为线段BC的中点 则直线l的方程为 答案 解析 3x 2y 16 0 即3x 2y 16 0 经验证符合题意 5 已知点P x y 到定点F c 0 的距离与它到直线l x 的距离之比为常数 c a 0 求点P的轨迹 解答 化简得 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为c a 0 令b2 c2 a2 得b2x2 a2y2 a2b2 即 a 0 b 0 表示焦点在x轴上的双曲线 1 2 3 4 5 规律与方法 1 解决直线与圆锥曲线的交点问题时 主要方法是构建一元二次方程 判断其解的个数 确定斜率与直线的倾斜角时 应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形 以及在双曲线和抛物线中 直线和曲线有一个公共点并不一定相切 2 与弦中点有关的问题