高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用课件苏教版选修1_1

第3章导数及其应用 习题课导数的应用 1 能利用导数研究函数的单调性 2 理解函数的极值 最值与导数的关系 3 掌握函数的单调性 极值与最值的综合应用 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间 a b 内的函数y f x 增 减 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 知识点二求函数y f x 的极值的方法 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的与端点处的函数值比较 其中的一个是最大值 的一个是最小值 知识点三函数y f x 在 a b 上最大值与最小值的求法 极值 f a f b 最大 最小 题型探究 类型一数形结合思想的应用 例1已知f x 是f x 的导函数 f x 的图象如图所示 则f x 的图象只可能是 答案 解析 解决函数极值与函数 导函数图象的关系时 应注意 1 对于导函数的图象 重点考查导函数的值在哪个区间上为正 在哪个区间上为负 在哪个点处与x轴相交 在交点附近导函数值是怎样变化的 2 对于函数的图象 函数重点考查递增区间和递减区间 进而确定极值点 反思与感悟 跟踪训练1设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 则函数y xf x 的图象可能是 答案 解析 函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 当x0 由此观察四个选项 故 符合 类型二构造函数求解 命题角度1比较函数值的大小 b c a 答案 解析 令g x xf x 则g x x f x xf x g x 是偶函数 g x f x xf x 当x 0时 xf x f x 0 g x 在 0 上是减函数 g x 是偶函数 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g x xf x 通过g x 确定g x 的单调性 进而确定函数值的大小 此类题目的关键是构造出恰当的函数 a b c 答案 解析 令g x 0 解得xe g x 在 0 e 上递增 在 e 上递减 而5 4 3 e g 5 g 4 g 3 命题角度2求解不等式 0 例3定义域为R的可导函数y f x 的导函数f x 满足f x 2ex的解集为 答案 解析 f x 0 即函数g x 单调递增 f 0 2 g 0 f 0 2 则不等式等价于g x g 0 函数g x 单调递增 x 0 不等式的解集为 0 反思与感悟 跟踪训练3设函数f x 是定义在R上的偶函数 f x 为其导函数 当x 0时 f x x f x 0 且f 1 0 则不等式x f x 0的解集为 1 答案 解析 令g x xf x 当x 0时 g x xf x f x xf x 0 g x 在 0 上单调递增 又f x 是偶函数 即f x f x 则g x x f x xf x g x g x 是奇函数 g x 在R上单调递增 f 1 0 则g 1 1 f 1 0 由xf x 0 即g x g 1 得x 1 xf x 0的解集为 1 命题角度3利用导数证明不等式 例4已知x 1 证明不等式x 1 lnx 证明 设f x x 1 lnx x 1 即函数f x 在 1 上是增函数 又x 1 所以f x f 1 1 1 ln1 0 即x 1 lnx 0 所以x 1 lnx 反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 1 将不等式构造成f x 0 或 0 的形式 2 利用导数将函数y f x 在所给区间上的最小值 或最大值 求出 3 证明函数y f x 的最小值 或最大值 大于零 或小于零 即可证得原不等式成立 跟踪训练4证明 当x 0时 2 2x 2ex 证明 设f x 2 2x 2ex 则f x 2 2ex 2 1 ex 当x 0时 ex e0 1 f x 2 1 ex 0时 2 2x 2ex 0 2 2x 2ex 类型三利用导数研究函数的极值与最值 例4已知函数f x x3 ax2 b的图象上一点P 1 0 且在点P处的切线与直线3x y 0平行 1 求函数f x 的解析式 解答 因为f x 3x2 2ax 曲线在P 1 0 处的切线斜率为f 1 3 2a 即3 2a 3 a 3 又函数过 1 0 点 即 2 b 0 b 2 所以a 3 b 2 f x x3 3x2 2 2 求函数f x 在区间 0 t 0 t 3 上的最大值和最小值 解答 由f x x3 3x2 2 得f x 3x2 6x 由f x 0 得x 0或x 2 当0 t 2时 在区间 0 t 上 f x 0 f x 在 0 t 上是减函数 所以f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当2 t 3时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x min f 2 2 f x max为f 0 与f t 中较大的一个 因为f t f 0 t3 3t2 t2 t 3 0 所以f x max f 0 2 3 在 1 的结论下 关于x的方程f x c在区间 1 3 上恰有两个相异的实根 求实数c的取值范围 解答 令g x f x c x3 3x2 2 c 则g x 3x2 6x 3x x 2 当x 1 2 时 g x 0 要使g x 0在 1 3 上恰有两个相异的实根 即实数c的取值范围为 2 0 反思与感悟 1 求极值时一般需确定f x 0的点和单调性 对于常见连续函数 先确定单调性即可得极值点 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 跟踪训练5已知函数f x ax3 a 1 x2 48 a 2 x b的图象关于原点成中心对称 1 求a b的值 解答 函数f x 的图象关于原点成中心对称 则f x 是奇函数 f x f x 即 ax3 a 1 x2 48 a 2 x b ax3 a 1 x2 48 a 2 x b 于是2 a 1 x2 2b 0恒成立 2 求f x 的单调区间及极值 由 1 得f x x3 48x f x 3x2 48 3 x 4 x 4 令f x 0 得x1 4 x2 4 令f x 0 得x4 f x 的递减区间为 4 4 递增区间为 4 和 4 f x 极大值 f 4 128 f x 极小值 f 4 128 解答 3 当x 1 5 时 求函数的最值 由 2 知 函数在 1 4 上单调递减 在 4 5 上单调递增 则f 4 128 f 1 47 f 5 115 函数的最大值为 47 最小值为 128 解答 当堂训练 1 2 3 4 5 1 如果函数y f x 的导函数的图象如图所示 给出下列判断 函数y f x 在区间 4 5 内单调递增 当x 2时 函数y f x 有极小值 则上述判断中正确的是 填序号 答案 解析 1 2 3 4 5 由导函数的图象知 当x 2 时 f x 0 f x 单调递增 当x 2 4 时 f x 0 f x 单调递增 当x 2时 f x 取极小值 当x 2时 f x 取极大值 当x 4时 f x 取极小值 所以只有 正确 1 2 3 4 5 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在x 0 2 上单调递减 在 2 0 上单调递增 f x 的最大值为f 0 m 3 f x 的最小值为f 2 16 24 3 37 2 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 则此函数在 2 2 上的最小值为 答案 解析 37 1 2 3 4 5 3 已知函数f x 在 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 由函数f x 在 2 内单调递减 知f x 0在 2 内恒成立 1 2 3 4 5 4 设f x g x 是定义在R上的恒大于0的可导函数 且f x g x f x g x f b g b f x g a f a g x f x g b f b g x f x g x f a g a 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 证明 设f x x sinx x 0 则f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x sinx在 0 上是单调增函