高中数学 第一章 常用逻辑用语 1_1_1 四种命题课件 苏教版选修1-1

第1章 1 1命题及其关系 1 1 1四种命题 1 了解四种命题的概念 会写出所给命题的逆命题 否命题和逆否命题 2 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系 3 会利用命题的等价性解决问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考给出下列语句 1 若直线a b 则直线a和直线b无公共点 2 3 6 7 3 偶函数的图象关于y轴对称 4 5能被4整除 请你找出上述语句的特点 知识点一命题的概念 答案 上述语句能够判断真假 梳理 1 定义 能够判断的语句 2 分类 真命题 判断为的语句 假命题 判断为的语句 3 形式 真假 真 假 若p则q 思考给出以下四个命题 1 当x 2时 x2 3x 2 0 2 若x2 3x 2 0 则x 2 3 若x 2 则x2 3x 2 0 4 若x2 3x 2 0 则x 2 你能说出命题 1 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗 知识点二四种命题的概念 答案 命题 1 的条件和结论恰好是命题 2 的结论和条件 命题 1 的条件和结论恰好是命题 3 条件的否定和结论的否定 命题 1 的条件和结论恰好是命题 4 结论的否定和条件的否定 梳理一般地 用p和q分别表示原命题的条件和结论 原命题 若p则q 1 互逆命题 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 那么这两个命题叫做 其中一个命题叫做 另一个命题叫做原命题的 2 互否命题 对于两个命题 其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定 这两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题 另一个命题叫做原命题的 3 互为逆否命题 对于两个命题 其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和 这两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题 另一个命题叫做原命题的 结论和条件 互逆命题 原命题 逆命题 互否命题 否命题 结论的否定 条件的否定 互为逆否命题 逆否命题 思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作 非p 和 非q 如果原命题是 若p 则q 那么它的逆命题 否命题 逆否命题该如何表示 答案 逆命题 若q则p 否命题 若非p则非q 逆否命题 若非q则非p 知识点三四种命题的关系 思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与原命题的否命题呢 答案 互逆 互否 互为逆否 梳理 1 四种命题之间的关系如下所示 q p 非q 非p 非q 非p 互逆 互否 否逆 2 四种命题的真假关系 如果两个命题互为逆否命题 那么它们有的真假性 如果两个命题为互逆命题或互否命题 那么它们的真假性关系 相同 没有 题型探究 例1判断下列语句是不是命题 若是 判断真假 并说明理由 1 求证是无理数 类型一命题及其真假的判定 解答 是祈使句 不是命题 2 若x R 则x2 4x 7 0 解答 是真命题 因为x2 4x 7 x 2 2 3 0对于x R 不等式恒成立 3 你是高一学生吗 解答 是疑问句 不是命题 4 一个正整数不是质数就是合数 解答 是假命题 正整数1既不是质数 也不是合数 5 x y是有理数 则x y都是有理数 解答 6 60 x 9 4 解答 不是命题 这种含有未知数的语句 无法确定未知数的取值能否使不等式成立 判断一个语句是否为命题 关键看两点 第一是否对一件事进行了判断 第二能否判断真假 一般地 祈使句 疑问句 感叹句等都不是命题 反思与感悟 跟踪训练1下列语句是否为命题 若是 判断其真假 若不是 说明理由 1 x 1或x 1 解答 不是命题 由于x的值不确定 因此无法作出判断 2 如果x 1 那么x 3 解答 是命题 且是假命题 已经明确指定了x的值 3 方程x2 5x 6 0的根是x 2 解答 是命题 且是假命题 因为还有一根是x 3 4 x2 5x 6 0 解答 不是命题 因为x的值不确定 命题角度1四种命题的概念 例2写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 1 若x A 则x A B 解答 逆命题 若x A B 则x A 否命题 若x A 则x A B 逆否命题 若x A B 则x A 类型二四种命题及其相互关系 2 若a b都是偶数 则a b是偶数 解答 逆命题 若a b是偶数 则a b都是偶数 否命题 若a b不都是偶数 则a b不是偶数 逆否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 3 在 ABC中 若a b 则A B 解答 逆命题 在 ABC中 若A B 则a b 否命题 在 ABC中 若a b 则A B 逆否命题 在 ABC中 若A B 则a b 四种命题的转换方法 1 交换原命题的条件和结论 所得命题是原命题的逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得命题是原命题的否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得命题是原命题的逆否命题 反思与感悟 跟踪训练2命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 答案 解析 直接根据逆否命题的定义 将原命题的条件与结论进行否定 再互换 值得注意的是 是减函数 的否定不能写成 是增函数 而应写成 不是减函数 命题角度2四种命题真假的判断 例3下列命题 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 四边相等的四边形是正方形 的否命题 梯形不是平行四边形 的逆否命题 若ac2 bc2 则a b 的逆命题 其中是真命题的是 答案 解析 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题是 若x y互为倒数 则xy 1 是真命题 四边相等的四边形是正方形 的否命题是 四边不都相等的四边形不是正方形 是真命题 梯形不是平行四边形 本身是真命题 所以其逆否命题也是真命题 若ac2 bc2 则a b 的逆命题是 若a b 则ac2 bc2 是假命题 所以真命题是 要判断四种命题的真假 首先 要熟练四种命题的相互关系 注意它们之间的相互性 其次 利用其他知识判断真假时 一定要对有关知识熟练掌握 反思与感悟 跟踪训练3下列命题中为真命题的是 填序号 正三角形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 2x m 0有实根 的逆否命题 若x 是有理数 则x是无理数 的逆否命题 答案 解析 原命题的逆命题为 若两个三角形相似 则这两个三角形是正三角形 故为假命题 原命题的逆否命题为 若x2 2x m 0无实根 则m 0 方程无实根 判别式 4 4m 0 m 1 即m 0成立 故为真命题 原命题的逆否命题为 若x不是无理数 则x 不是有理数 x不是无理数 x是有理数 又是无理数 x 是无理数 不是有理数 故为真命题 为真命题的是 例4已知a b c R 证明 若a b c 1 则a b c中至少有一个小于 证明 显然逆否命题为真命题 所以原命题也为真命题 即已知a b c R 若a b c 1 则a b c中至少有一个小于 类型三等价命题的应用 1 当原命题的真假不易判断 而逆否命题的真假容易判断时 可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假 2 在证明某一个命题的真假性有困难时 可以证明它的逆否命题为真 假 命题 来间接地证明原命题为真 假 命题 反思与感悟 跟踪训练4证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 原命题正确 当堂训练 1 下列语句是命题的是 若a b 则a2 b2 a2 b2 方程x2 x 1 0的近似根 方程x2 x 1 0有根吗 无法判断真假 是疑问句 不是陈述句 不能判断真假 故 不是命题 答案 解析 1 2 3 4 5 2 命题 若 则tan 1 的逆否命题是 若tan 1 则 答案 解析 1 2 3 4 5 3 已知直线l1 x ay 1 0 直线l2 ax y 2 0 则命题 若a 1或a 1 则直线l1与l2平行 的否命题为 若a 1且a 1 则直线l1 与l2不平行 答案 1 2 3 4 5 4 下列命题 全等三角形的面积相等 的逆命题 正三角形的三个内角均为60 的否命题 若k 0 则方程x2 2k 1 x k 0必有两相异实数根 的逆否命题 其中真命题的个数是 2 的逆命题 面积相等的三角形是全等三角形 是假命题 的否命题 不是正三角形的三个内角不全为60 为真命题 当k0 方程有两相异实根 原命题与其逆否命题均为真命题 答案 解析 1 2 3 4 5 5 已知命题 若m 1 x m 1 则1 x 2 的逆命题为真命题 则m的取值范围是 1 2 若m 1 x m 1 则1 x 2 的逆命题为 若1 x 2 则m 1 x m 1 逆命题为真命题 答案 解析 1 2 3 4 5 1 根据命题的意义 可以