高中数学 第一章 导数及其应用 1_1_3 导数的几何意义课件 新人教b版选修2-2

1 1 3导数的几何意义 第一章 1 1导数 学习目标1 理解导数的几何意义 2 根据导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点导数的几何意义 割线PPn的斜率kn是多少 答案 如图 Pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 P的坐标为 x0 y0 直线PT为在点P处的切线 思考2 当点Pn无限趋近于点P时 割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系 答案 答案当点Pn无限趋近于点P时 割线PPn趋近于在点P处的切线PT 思考3 当Pn无限趋近于点P时 kn与切线PT的斜率k有什么关系 答案 答案kn无限趋近于切线PT的斜率k 1 曲线的切线设函数y f x 的图象如图所示 AB是过点A x0 f x0 与点B x0 x f x0 x 的一条割线 由此割线的斜率是 可知曲线割线的斜率就是函数的 当点B沿曲线趋近于点A时 割线AB绕点A转动 它的最终位置为直线AD 这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线 梳理 平均变化率 2 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 几何意义 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率等于 曲线在点 x0 f x0 处切线的斜率为 相应的切线方程为 y f x0 f x0 x x0 f x0 题型探究 例1已知曲线C 求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程 解答 类型一求切线方程 命题角度1曲线在某点处的切线方程 k y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 解将x 2代入曲线C的方程 得y 4 切点坐标为P 2 4 求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思与感悟 跟踪训练1曲线y x2 1在点P 2 5 处的切线与y轴交点的纵坐标是 3 答案 解析 k y x 2 4 曲线y x2 1在点 2 5 处的切线方程为y 5 4 x 2 即y 4x 3 切线与y轴交点的纵坐标是 3 解答 命题角度2曲线过某点的切线方程 化简得14x 4y 49 0或2x 4y 1 0 即所求的切线方程为14x 4y 49 0或2x 4y 1 0 过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 f x0 反思与感悟 3 解方程得k f x0 由x0 y0 及k 从而写出切线方程 跟踪训练2求过点 1 0 与曲线y x2 x 1相切的直线方程 解答 解设切点为 x0 x0 1 解得x0 0或x0 2 当x0 0时 切线斜率k 1 过点 1 0 的切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 当x0 2时 切线斜率k 3 过点 1 0 的切线方程为y 0 3 x 1 即3x y 3 0 故所求切线方程为x y 1 0或3x y 3 0 类型二求切点坐标 解答 例3已知曲线y x2 1在x x0处的切线与曲线y 1 x3在x x0处的切线互相平行 求x0的值 解对于曲线y x2 1 对于曲线y 1 x3 解答 引申探究1 若本例条件中的 平行 改为 垂直 求x0的值 又曲线y x2 1与y 1 x3在x x0处的切线互相垂直 解答 2 若本例条件不变 试求出两条平行的切线方程 当x0 0时 两条平行的切线方程为y 1或y 1 曲线y 1 x3的切线方程为36x 27y 11 0 所求两条平行的切线方程为y 1与y 1或12x 9y 13 0与36x 27y 11 0 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1 设切点坐标 x0 y0 2 求导函数f x 3 求切线的斜率f x0 4 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 5 点 x0 y0 在曲线f x 上 将 x0 y0 代入求y0 得切点坐标 反思与感悟 跟踪训练3已知直线l y 4x a与曲线C y f x x3 2x2 3相切 求a的值及切点坐标 解答 解设直线l与曲线C相切于点P x0 y0 当切点坐标为 2 3 时 有3 4 2 a a 5 当a 5时 切点坐标为 2 3 类型三导数几何意义的应用 例4已知函数f x 在区间 0 3 上的图象如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 f 2 f 1 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 答案 解析 k1 k3 k2 解析由导数的几何意义 可得k1 k2 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导 利用题目所提供的诸如直线的位置关系 斜率最值范围等关系求解相关问题 此处常与函数 方程 不等式等知识相结合 反思与感悟 跟踪训练4若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 解析 解析依题意 y f x 在 a b 上是增函数 则在函数f x 的图象上 各点的切线的斜率随着x的增大而增大 观察四个选项的图象 只有A满足 答案 当堂训练 1 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则A a 1 b 1B a 1 b 1C a 1 b 1D a 1 b 1 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意知 k y x 0 又 0 b 在切线上 b 1 故选A 2 已知y f x 的图象如图所示 则f xA 与f xB 的大小关系是A f xA f xB B f xA f xB C f xA f xB D 不能确定 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由导数的几何意义知 f xA f xB 分别是切线在点A B处切线的斜率 由图象可知f xA f xB 2 3 4 5 1 3 如图 函数y f x 的图象在点P 2 y 处的切线是l 则f 2 f 2 等于A 4B 3C 2D 1 答案 解析 解析由图象可得函数y f x 的图象在点P处的切线是l 与x轴交于 4 0 与y轴交于 0 4 则可知l x y 4 f 2 2 f 2 1 代入可得f 2 f 2 1 故选D 4 已知曲线y f x 2x2 4x在点P处的切线斜率为16 则点P的坐标为 2 3 4 5 1 答案 3 30 解析 令4x0 4 16 得x0 3 P 3 30 5 已知抛物线y ax2 bx c过点P 1 1 且在点Q 2 1 处与直线y x 3相切 求实数a b c的值 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解 抛物线过点P a b c 1 y x 2 4a b 4a b 1 又抛物线过点Q 4a 2b c 1 由 解得a 3 b 11 c 9 规律与方法 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但