高中数学 第2章 推理与证明 2_1_1 合情推理课件 苏教版选修1-2

2 1 1合情推理 第2章2 1合情推理与演绎推理 学习目标1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一归纳推理 思考 1 铜 铁 铝 金 银等金属都能导电 猜想 一切金属都能导电 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 以上属于什么推理 答案 答案属于归纳推理 符合归纳推理的定义特征 即由部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 梳理 1 推理从一个或几个得出另一个的思维过程称为推理 2 归纳推理 定义 从中推演出的结论 像这样的推理通常称为归纳推理 思维过程 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 新命题 已知命题 个别事实 一般性 3 归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的 归纳所得的结论是尚属未知的 该结论超越了前提所包容的范围 由归纳推理得到的结论具有的性质 结论是否真实 还需经过和实践检验 归纳推理是一种具有创造性的推理 一般现象 特殊现象 猜测 逻辑证明 科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 1 火星也是绕太阳公转 绕轴自转的行星 2 有大气层 在一年中也有季节更替 3 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等 由此 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 他们使用了什么样的推理 知识点二类比推理 思考 答案类比推理 答案 梳理根据两个 或两类 对象之间在某些方面的 推演出它们在其他方面也 像这样的推理通常称为类比推理 简称类比法 相似或相同 相似或相同 根据已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理 和 都是数学活动中常用的合情推理 知识点三合情推理 类比 归纳推理 推理 题型探究 命题角度1数 式中的归纳推理例1 1 观察下列等式 类型一归纳推理 据此规律 第n个等式可为 答案 解析 解析等式左边的特征 第1个有2项 第2个有4项 第3个有6项 且正负交错 故第n个等式左边有2n项且正负交错 等式右边的特征 第1个有1项 第2个有2项 第3个有3项 故第n个等式右边有n项 且由前几个等式的规律不难发现 第n个等式右边应为 2 已知f x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 且n N 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n N 的表达式为 答案 解析 又 fn x fn 1 fn 1 x 引申探究在本例 2 中 若把 fn x fn 1 fn 1 x 改为 fn x f fn 1 x 其他条件不变 试猜想fn x n N 的表达式 解答 又 fn x f fn 1 x 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形成的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理 在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 反思与感悟 答案 解析 跟踪训练1观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式是 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或152 解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数 三个数 四个数的立方和 等式右边分别是这几个数的和的平方 因此可得第四个等式是13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 152 例2如图所示是由火柴杆拼成的一列图形 第n个图形由n个正方形组成 通过观察可以发现 第4个图形中 火柴杆有 根 第n个图形中 火柴杆有 根 答案 解析 命题角度2图形中的归纳推理 13 3n 1 解析设an表示第n个图形中的火柴杆数 易知a1 4 a2 4 3 7 a3 7 3 10 a4 10 3 13 an 3n 1 图形中归纳推理的特点及思路 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样的变化 反思与感悟 跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第n个图案中有黑色地面砖的块数是 5n 1 解析观察图案知 从第一个图案起 每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6 公差为5的等差数列 从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6 n 1 5 5n 1 答案 解析 命题角度1数列中的类比推理 类型二类比推理 答案 解析 例3设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比数列 解析由于等差数列与等比数列具有类比性 且等差数列与和差有关 等比数列与积商有关 因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时 类比等比数列为依次每4项的积成等比数列 下面证明该结论的正确性 设等比数列 bn 的公比为q 首项为b1 已知等差数列与等比数列有类似的性质 在类比过程中也有一些规律 如下表所示的部分结论 其中d q分别是公差和公比 反思与感悟 跟踪训练3若数列 an n N 是等差数列 则有数列bn n N 也是等差数列 类比上述性质 相应地 若数列 cn 是等比数列 且cn 0 则有数列dn n N 也是等比数列 答案 解析 解析数列 an n N 是等差数列 类比猜想 若数列 cn 是各项均为正数的等比数列 例4如图 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示三条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 解答 命题角度2几何中的类比推理 解如题图 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示3条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类似地 如图所示 在四面体P DEF中 PDF PDE EDF 90 设S1 S2 S3和S分别表示 PDF PDE EDF和 PEF的面积 相对于直角三角形的两条直角边a b和1条斜边c 图中的四面体有3个 直角面 S1 S2 S3和1个 斜面 S 1 类比推理的一般步骤 反思与感悟 2 中学阶段常见的类比知识点 等差数列与等比数列 向量与实数 空间与平面 圆与球等等 比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下 跟踪训练4在长方形ABCD中 对角线AC与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想并证明 解答 解在长方形ABCD中 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 证明如下 当堂训练 1 由数列1 10 100 1000 猜测该数列的第n项可能是 答案 2 3 4 5 1 解析该数列可整理为100 101 102 103 解析 10n 1 2 我们知道 在平面内 点 x0 y0 到直线Ax By C 0的距离公式d 通过类比的方法 可求得在空间中 点 2 4 1 到直线x 2y 2z 3 0的距离为 2 3 4 5 1 解析 答案 5 2 3 4 5 1 可知在空间中 2 3 4 5 1 答案 解析 3 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 解析从给出的规律可看出 左边的连乘式中 连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致 其中左边连乘式中第二个加数从1开始 逐项加1递增 右边连乘式中从第二个乘数开始 组成以1为首项 2为公差的等差数列 项数与第几等式保持一致 则照此规律 第n个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 2 3 4 5 1 4 按照图1 图2 图3的规律 第10个图中圆点的个数为 2 3 4 5 1 答案 解析 40 解析图1中的点数为4 1 4 图2中的点数为8 2 4 图3中的点数为12 3 4 所以第10个图中的圆点的个数为10 4 40 5 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为