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专题一数形结合思想 数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略 它体现了数学的和谐美 统一美 华罗庚先生曾用 数缺形时少直觉 形少数时难入微 作高度的概括 淄博市近几年的中 考题中2017年的第11 22 24题体现了函数问题解决的过程中数形结合的重要性 2017年的第23题则体现了几何问题解决的过程中数形结合的重要性 2017年的第21题则体现了统计中数形结合的重要性等 它是数学中非常重要的数学方法之一 应该予以重视 数与形是数学教学研究对象的两个侧面 把数量关系和空间形式结合起来去分析问题 解决问题 就是数形结合思想 数 式能反映图形的准确性 图形能增强数 式的直观性 数形结合 可以调动和促进学生形象思维和抽象思维的协调发展 沟通数学知识之间的联系 从复杂的数量关系中凸显最本质的特征 常见的情形 利用数 轴 函数的图象和性质 几何模型 方程与不等式以及数式特征可以将代数问题转化为几何问题 利用代数计算 几何图形特征可以将几何问题转化为代数问题 利用三角知识解决几何问题 利用统计图表让统计数据更形象更直观等 典例 2016 河南 某班 数学兴趣小组 对函数y x2 2 x 的图象和性质进行了探究 探究过程如下 请补充完整 1 自变量x的取值范围是全体实数 x与y的几组对应值列表如下 其中m 2 根据上表数据 在如图所示的平面直角坐标系中描点 并画出了函数图象的一部分 请画出该函数图象的另一部分 3 观察函数图象 写出两条函数的性质 4 进一步探究函数图象发现 函数图象与x轴有个交点 所对应的方程x2 2 x 0有个实数根 方程x2 2 x 2有个实数根 关于x的方程x2 2 x a有4个实数根时 a的取值范围是 分析 1 把x 2代入函数表达式求解即可 2 描点 连线即可 3 写出两条合理的函数性质即可 4 利用数形结合思想 通过观察图象直接写出答案即可 自主解答 1 0 2 如图所示 3 函数y x2 2 x 的图象关于y轴对称 当x 1时 y随x的增大而增大 答案不唯一 合理即可 4 33 2 1 a 0 归纳总结 此类题目需充分发挥图形的作用 从图中读出已知条件 借助图形解决问题是关键 1 2017 威海 如图 正方形ABCD的边长为5 点A的坐标为 4 0 点B在y轴上 若反比例函数y k 0 的图象过点C 则该反比例函数的表达式为 A 2 2017 青岛 一次函数y kx b k 0 的图象经过A 1 4 B 2 2 两点 P为反比例函数y 图
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