2019_2020学年高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系讲义新人教A版.docx

1.2集合间的基本关系最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素xA，必有xB，则AB(或BA)，读作A包含于B或B包含A“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意xA都能推出xB.知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作AB.符号语言：若AB，且BA，则AB.1.若A B，又B A，则AB；反之，如果AB，则A B，且B A.2若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关知识点三真子集文字语言：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)符号语言：AB(或BA)在真子集的定义中，A B首先要满足A B，其次至少有一个xB，但xA.知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为.规定：空集是任何集合的子集知识点五子集的性质1任何一个集合都是它本身的子集，即AA.2对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC.教材解难教材P8思考a表示含有一个元素a的集合，aA表示集合A包含a，这是两个集合之间的关系；aA，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系基础自测1下列四句话中：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有()A0个B1个C2个 D3个解析：由空集的性质可知，只有正确，均不正确答案：B2集合0,1的子集有()A1个 B2个C3个 D4个解析：集合0,1的子集为，0，1，0,1答案：D3已知集合Ax|1x0，则下列各式正确的是()A0A B0ACA D0A解析：集合Ax|1x1，所以0A，0A，D正确答案：D4已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_.解析：BA，2m1m2，m1.答案：1题型一集合间关系的判断经典例题例1(1)下列各式中，正确的个数是()00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3 D4(2)指出下列各组集合之间的关系：A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*【解析】(1)对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是含有两个元素0与1的集合，而(0,1)是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以0,1与(0,1)不相等；对于，0与0是“属于与否”的关系，所以00故是正确的，应选B.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.方法二由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.【答案】(1)B(2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断，对于应先明确两个集合中的元素是点还是实数方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍跟踪训练1(1)若集合Mx|x210，T1，0,1，则M与T的关系是()AMT BMTCMT DMT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是矩形，Dx|x是正方形解析：(1)因为Mx|x2101,1，又T1,0,1，所以MT.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图如图答案：(1)A(2)见解析(2)学习完知识点后，我们可以得到B A，C A，D A，D B，D C.题型二子集、真子集及个数问题教材P8例1、2例2(1)写出集合a，b的所有子集，并指出哪些是它的真子集(2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：A1,2,3，Bx|x是8的约数；Ax|x是长方形，Bx|x是两条对角线相等的平行四边形【解析】(1)集合a，b的所有子集为，a，b，a，b真子集为，a，b(2)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集(1)题写出集合的子集时易忘，真子集是在子集的基础上去掉自身(2)题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思1求集合子集、真子集个数的三个步骤2若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.跟踪训练2(1)已知集合AxR|x23x20，BxN|0x5，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4(2)已知集合AxR|x2a，使集合A的子集个数为2个的a的值为()A2 B4C0 D以上答案都不是解析：(1)由x23x20，得x1或x2，所以A1,2由题意知B1,2,3,4，所以满足条件的C可为1,2,3，1,2，4(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2a只有一个解；若方程x2a只有一个解，必有a0.答案：(1)B (2)C(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2a解的个数，然后求a的值题型三根据集合的包含关系求参数经典例题例3已知集合Ax|1ax2，Bx|1x0时，A.又Bx|1x1，且AB，a2.(3) 当a0时，A.AB，a2.综上所述，a的取值范围是a|a0，或a2，或a2欲解不等式1ax0，a0进行讨论A B用数轴表示如图所示：(a0时)由图易知，和需在1与1之间当1，或1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如1时，A，x取不到1.a0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的跟踪训练3设集合Ax|x28x150，Bx|ax10(1)若a，试判定集合A与B的关系(2)若BA，求实数a的取值集合解析：(1)由x28x150得x3或x5，故A3,5，当a时，由ax10得x5.所以B5，所以BA.(2)当B时，满足BA，此时a0；当B，a0时，集合B，由BA得3或5，所以a或a.综上所述，实数a的取值集合为(1)解方程x28x150，求出A，当a时，求出B，由此能判定集合A与B的关系(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合B，此时a0；B，此时a0.易错点忽略空集的特殊性致误例设Mx|x22x30，Nx|ax10，若NM，求所有满足条件的a的取值集合【错解】由NM，Mx|x22x301,3，得N1或3当N1时，由1，得a1.当N3时，由3，得a.故满足条件的a的取值集合为.【正解】由NM，Mx|x22x301,3，得N或N1或N3当N时，ax10无解，即a0.当N1时，由1，得a1.当N3时，由3，得a.故满足条件的a的取值集合为.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业 2一、选择题1能正确表示集合Mx|xR且0x1和集合NxR|x2x关系的Venn图是()解析：NxR|x2x0,1，Mx|xR 且0x1，NM.答案：B2已知集合A1,2,3，B3，x2,2，若AB，则x的值是()A1B1C1 D0解析：由AB得x21，所以x1，故选C.答案：C3已知集合A1,0,1，则含有元素0的A的子集的个数为()A2 B4C6 D8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为0，0,1，0，1，1,0,1，共4个答案：B4设Ax|2x3，Bx|x3 Bm3Cm3 Dm3解析：因为Ax|2x3，Bx|xm，AB，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m3.答案：B二、填空题5已知集合：(1)0；(2)；(3)x|3mxm；(4)x|a2xa；(5)x|x22x50，xR其中，一定表示空集的是_(填序号)解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素，它们不是空集；对于集合(3)，当m3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x22x50在实数范围内无解，故为空集答案：(4)(5)6已知集合A1,3,5，则集合A的所有子集的元素之和为_解析：集合A的子集分别是：，1，3，5，1,3，1,5，3,5，1,3,5注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次故所求之和为(135)436.答案：367若集合A1,2,3，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有_个解析：若A中含有一个奇数，则A可能为1，3，1,2，3,2；若A中含有两个奇数，则A1,3答案：5三、解答题8已知1,2A1,2,3,4，写出所有满足条件的集合A.解析：1,2A，1A,2A.又A1,2,3,4，集合A中还可以有3,4中的一个，即集合A可以是1,2，1,2,3，1,2,49已知M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，试求a与b的值解析：